导数的应用(2)教学目标:用导数解决零点问题,证明不等式及其应用.教学重点:重点是用导数解决有关函数零点的问题,不等式的证明及应用结论解决有关问题.教学难点:难点是用导数解决函数零点问题时对参数的讨论.1.求函数的单调区间:3.求函数的极值的方法及步骤:4.求函数的最值的方法及步骤:2.已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围:导数的应用(2)2.设a1,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明f(x)在上仅有一个零点.(3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:aexxfx)1()(2),(123eam1.已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围()A)B)C)(0,1)D))(ln)(axxxxf)0,()21,0(),0(变式训练1:设函数(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.)ln2()(2xxkxexfx导数的应用(2)3.已知函数(1)若,求f(x)的单调区间.(2)若当x≥0时f(x)≥0,求实数a的取值范围.2)1()(axexxfx21a变式训练3.设函数(1)若a=0,求f(x)的单调区间.(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.21)(axxexfx变式训练2.已知函数,g(x)=-lnx(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x0),讨论h(x)零点的个数.41)(3axxxf1.解由题意知,有两个实根设,则1.已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围()A)B)C)(0,1)D))(ln)(axxxxf)0,()21,0(),0()(ln)(axxxxf12ln)1(ln)('axxaxxaxxxf0)('xf)0(12ln)(xaxxxg)0(21)('xaxxg当a≤0时,g(x)在单调递增g(x)不可能有两个零点,则f(x)不可能有两个极值点.0)('xg),0(当a0时,由,得当时,,g(x)单调递增当时,,g(x)单调递减所以g(x)有最大值由题意知,得故a的取值范围为0)('xg0)('xgax21)21,0(ax),21(ax0)('xgaag2ln)21(02ln)21(aag210a)21,0(1.已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围()A)B)C)(0,1)D))(ln)(axxxxf)0,()21,0(),0(1.解由题意知,有两个实根)(ln)(axxxxf12ln)1(ln)('axxaxxaxxxf0)('xf即有两个实根即y=lnx与y=2ax-1的图像在有两个交点如图12lnaxx),0(xy01设y=lnx与y=2ax-1的图像切于点(m,lnm)则由,解得m=1所以k=2a=1,得故a的取值范围为mmmk1ln121a)21,0(变式训练1:设函数(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.)ln2()(2xxkxexfx解:(1)f(x)的定义域为),0()ln2()(2xxkxexfx23242)2(2)12(2)(xxkxexexxkxxexexfxxxx3)2)((xxkxex由k≤0,可得所以当0x2时,,函数f(x)单调递减所以当0x2时,,函数f(x)单调递增所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间(0,2).0kxex0)('xf0)('xf),2((2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)无极值点当k0时,设函数则)2,0(,)(xkxexgx)2,0(,)('xkexgx当0k≤1时,由0X2,得,g(x)单调递增故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.当时,由0X2,得,g(x)单调递减故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.0)('xg2ek0)('xg当时,由,得x=lnk当0xlnk时,,函数g(x)单调递减当lnkx2时,,函数g(x)单调递增所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk).由函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,得21ek0)('xg0)('xg0)('xg0)2(0)(ln0)0(gkgg22eke)2,(2ee,解得,故k的取值范围为(2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)无极值点当k0时,设函数y=f(x)在(0,2)上有两个极值点等价于g(x)在(0,2)上有两个零点则与y=kx在(0,2)上有两个交点画简图如下:)2,0(,)(xkxexgxxeyxyo2当直线y=kx过点时,当直线y=kx与切于点时,解得m=1所以k=e故k的取值范围为),2(2e22ekxey),(memmeekmm)2,(2ee解:对于所以f(x)的单调递增区间为2.设a1,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明f(x)在上仅有一个零点.(3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:aexxfx)1()(2),(123eamaexxfx)1()(2xxxexexxexf22)1()1(2)('0)(',xfRx),(2.证明:有(1)知f(x)在R上单调递增,且f(0)=1-a0因为a1,故a-10,所以)1()1(11aaeaaaeaf01a所以,故所以,使得又f(x)在上单调递增所以f(x)在上仅有一个零点.11ae0)1(af)1,0(0ax),(),((3)证明:令,得x=-1所以点P坐标为所以OP的斜率为由f(x)在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,得xexxf2)1()('0)('xf)2,1(aeeakOP2eaemmfm2)1()('20)(0xf要证只需证即证设则由,得m=0当时,,g(m)单调递减当时,,g(m)单调递增所以故成立所以123eammemeam23)1(2)1(mem11)(memgm01)('memg)0,(m0)('mg),0(m0)('mg0)0()(mingmgmem1123eam解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点,则,即解得当时,x轴是y=f(x)的切线.变式训练2.已知函数,g(x)=-lnx(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x0),讨论h(x)零点的个数.41)(3axxxf)0,(0x0)('0)(00xfxf0304120020axaxx21,430xa43a(2)当x1时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)0故h(x)在无零点.),1(当x=1时,若,则f(1)=h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点若,则h(1)=f(1)0,h(x)无零点.45a045a45a当0x1时,g(x)0无零点,只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.(¡)当a≥0时,,f(x)在(0,1)单调递增且f(0)0故f(x)(0,1)上无零点.(¡¡)当a≤-3时,,f(x)在(0,1)单调递减且,f(x)在(0,1)内仅有一个零点.axxf23)('03)('2axxf03)('2axxf045)1(,041)0(aff(¡¡¡)当-3a0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增故f(x)在(0,1)上的最小值为)3,0(a)1,3(a41332)3(aaafa)若,即时,f(x)在(0,1)上无零点041332)3(aaaf043ab)若,即时,f(x)在(0,1)上有一个零点041332)3(aaaf43ac)当,即时041332)3(aaaf433a45)1(,041)0(aff4345a453a综上所述:当或时,h(x)有一个零点。当或时,h(x)有两个零点。当时,h(x)有三个零点。43a45a43a45a4345a故当,f(1)0,f(x)在(0,1)内有两个零点当时,f(1)≤0,f(x)在(0,1)内有一个零点.3.已知函数(1)若,求f(x)的单调区间.(2)若当x≥0时f(x)≥0,求实数a的取值范围.2)1()(axexxfx21a解:(1)时,由,得x=0或x=-1当时,,f(x)单调递增当时,,f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为f(x)的单调递增区间为21a221)1()(xexxfx)1)(1(1)('xxxexxxeexf0)('xf),0()1,(x0)('xf)0,1(x0)('xf),0(),1,()0,1((2)设,则若a≤1,当x0时,,g(x)单调递增,而g(0)=0所以当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0)1()(axexxfxaxexgx1)(aexgx)('0)('xg若a1,则当时,,g(x)单调递减而g(0)=0,从而当时,g(x)0,即f(x)0综上得a的取值范围为)ln,0(ax0)('xg)ln,0(ax]1,(法二:由f(x)≤0,得当x=0时,0≤0恒成立当x0时,恒成立,设则设,所以h(x)在上单调递增,h(x)h(0)=0故,则g(x)在上单调递增。所以由于在恒成立。所以a≤1a的取值范围为1xeaxxeax1xexgx1)(221)1()('xexexexexgxxxx1)(xxexexh0)('xxexh),0(0)('xg),0(11lim1lim)(00xxxxexexgxeax1),0(]1,((2),则令,则21)(axxexfxaxexfx21)('axexgx21)(aexgx2)('当时,恒成立,g(x)在单调递增所以g(x)≥g(0)=0,即,故f(x)在单调递增所以f(x)≥f(0)=0,即不等式f(x)≥0成立.0)('xg),0[0)('xf),0[当时,g(x)在(0,ln2a)单调递减,而g(0)=0g(x)≤g(0)=0,则,f(x)在(0,ln2a)单调递减而f(0)=0,故f(x)0,不合题意.0)('xf综上,得a的取值范围为]21,(21a21a解:(1)a=0时,,则当x0时,,f(x)单调递减,x0,,f(x)单调递增故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为1)(xexfx1)('xexf0)('xf0)('xf),0()0,(变式训练3.设函数(1)若a=0,求f(x)的单调区间.(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.21)(axxexfx解:(1)a=0时,,则当x0时,,f(x)单调递减,x