小波变换的降噪原理及性能仿真

基于MATLAB的小波变换的降噪原理及性能仿真按小波变换的发展过程划分，大致可以划分三个阶段：第一阶段：孤立应用时间。主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的应用。这个时代最典型的代表工作是法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossmann第一个把“小波”用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名的时间—尺度小波，即Grossmann-Morlet小波。这个时期的另一个代表性工作是1981年J.Stromberg对A.Haar在1910年所给出的Haar（哈尔）系标准正交小波基的改进。同时，著名的计算机视觉专家D.Marr在他的“零交叉”理论中使用的可按“尺寸大小”变化的滤波算子，现在称为“墨西哥帽”的小波也是这个时期有名的工作之一，这部分工作和后来成为S.Mallat的正交小波构造理论支柱之“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切联系。这个时期一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师所从事的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面。因此，这个现象从另一个侧面预示了小波分析理论研究和应用热潮的到来，说明了小波理论产生的历史必然性。第二阶段：国家性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始与1986年，当时法国数学家Y.Meyer成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函数，这个函数（算子）的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的2-范数函数空间的标准正交基。这项成果标志“小波分析”新时代的到来。第三阶段：全面应用时期。从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。在前一阶段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的Mallat分解和重构算法的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的几乎所有的领域。编辑部是在美国的TexasA&M大学的国际杂志《AppliedandComputationHarmonicAnalysis》从1993年创刊之日起就把小波分析的理论和应用研究作为其主要内容，编辑部的三位主编C.K.Chi、R.Coifman与I.Daubechies都在小波分析的研究和应用中有独到的贡献。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析有关的论文，各个学科领域的地区性和国际性学术会议都有设计小波分析的各种类型的论文、报告。同时，在国际互联网和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、论文、报告、软件、随时随地有可以找到并可以免费下载，甚至颇有国际影响的软件公司MathWorks在它的“科学研究和工程应用”软件MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox”的单独一个工具箱。由此可以大致了解小波分析广泛应用状况。1.1.2从小波变换的思想来源划分按小波变换的思想来源划分，大致可以分为两个阶段：第一阶段：小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属1910年Haar提出的规范正交基，但当时并没有出现“小波”这个词。1936年Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按二进制进行划分，其傅立叶变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。1946年Gabor提出的加窗傅立叶变换（或称短时傅立叶变换）对弥补傅立叶变换的不足起到了一定的作用。后来，Galderon、Zygmund、Stem等将L—P理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论；1965年Galderon发现了再生核公式，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到一个正交系的结论。1981年，Sterm对Haar系数进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982年Battle在构造量子场论中采用了caldem再生核公式的展开形式。第二阶段：1984年，法国地球物理学家J.Morlet在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开，他与A.Grossman共同研究，发展了连续小波变换的几何体系。1985年，法国的大数学家Meyer首先提出了光滑小波的正交基，1986年，Meyer及其学生Memaarie提出了多尺度分析的思想。1987年Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1988年，年轻的女数学家Dallbechies提出了具有紧支集的光滑正交小波基——Daubechies基，为小波的应用研究增添了催化剂。同年，Daubechies在美国主办的小波专题讨论会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。1.2小波变换的应用领域事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析[1~4]、图象处理[5,6]；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别[7~10]，音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理[11]；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波[12~15]、去噪声[16~19]、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断、去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间等。1.2.1小波分析在地球物理勘探中的应用（1）地震数据压缩。将地震记录作小波变换，变换后的结果做阈值量化，去除大量接近于零的值，用一定的记录方式把结果存储起来，达到压缩的目的。当需要再利用这些地震数据时，作小波逆变换恢复原来的地震记录。（2）油气预测。地球物理勘探中，寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常有意义的。例如，断层会使重力异常产生的较大变化；在地壳介质的分界面处，地震波的传播会产生速度和方向的变化，这些都是地球物理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释。应用中：通常是将分形几何理论和模式识别理论与小波变换的突变点原理相结合，通过确定表征奇异性的数检测地震道的奇异性，预测储层所在的位置。通过计算地震道的分维数或提取小波变换域的地震特征参数，建立关联维数或地震的特征参数与含油气的关系，利用模式识别的原理确定油气井的位置。1.2.2小波分析用于信号和图像处理（1）数据压缩。随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此，伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带来巨大的经济效益和社会效益。（2）语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括：清/浊音分割；基音检测与声门开启时刻定位；去噪、压缩、重建几个方面。1.2.3小波分析在其他领域的应用从数学的角度讲，小波分析的发展，对微分方程、积分方程的数值解、统计学等学科也注入了新的活力。因此，小波分析在流体力学的模型建立和求取数值解、医学细胞识别、线性系统计算、物理学分析、工程计算[20,21]中也得到了应用。由于小波分析处于高速发展阶段，新的理论和应用领域不断涌现。1.3小波分析应用前景（1）瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应于测试信号的突变点。虽然这些问题发生的背景不同，但都可以归结到如何提取信号中突变点的位置及判定其奇异性（或光滑性）的问题。对图像来说，急剧变化的点通常对应于代表图像结构的边缘部位，也就是图像信息的主要部分。掌握了它，也就掌握了图像的基本特征，因此，小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。（2）神经网络与小波分析相结合，分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究，没有小波理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析，也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理性工具。（3）小波分析用于数据或图像的压缩，目前绝大多数是对静止图像进行研究的。面向网络的活动图像压缩，长期以来是采用离散余弦变换（DCT）加运动补偿（Mc）作为编码技术，然而，该方法存在两个主要的问题：方块效应和蚊式噪声。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述问题，而且可首先得到粗尺度上图像的轮廓，然后决定是否需要传输精细的图案，以提高图像的传输速度。因此研究面对网络的地速率图像压缩的小波分析并行算法，具有较高探索性和新颖性。同时也具有较高的应用价值和广泛的应用前景。（4）目前使用的二维及高维小波基主要是可分离的。不可分离二维及高维小波基的构造、性质应用研究，由于理论上较为复杂，这方面的成果甚少。也许向量小波及高维小波的研究能够为小波分析的应用开创一个新天地。1.4小波分析面临的主要问题小波分析虽然在许多应用领域已取得了一定的成果但事实上小波分析仍面临的一些问题，主要问题如下：（1）小波理论尚不完善，除一维小波理论比较成熟以外，高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那样，特别是各类小波，如正交小波、双正交小波及向量小波、二进小波、离散小波的构造和性质的研究。（2）最优小波基选取方法的研究。虽然国内外已有一些最优基选取方法的研究但缺乏系统规范的最佳小波基选取方法，即针对不同的问题能最优地选择不同的小波基以实现最好的应用效果。我们知道不存在一种小波基能适应所有的情况，因此，小波基的优化选择始终是小波理论研究的重要内容。（3）小波分析的应用范围虽然很广，但真正取得极佳应用效果的领域并不多，人们正在挖掘有前景的应用领域。（4）目前小波分析软件远不如有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、边界元方法（EEM）等软件成熟和完善，更无大型系统权威的小波分析软件，作为商品的高水平小波分析软件几乎没有。（5）小波分析在数据图像压缩方面已取得很好的成绩，人们期待利用小波能够实现高压缩比、高重现度图像的压缩，并探索在图像的边缘检测、分类与描述中的应用。1.5小波分析与傅里叶对比小波分析是20世纪80年代后期形成的一种新兴的数学分支，是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。1.6本章小结在本章中，对小波进行了基本的介绍。先对小波变换的发展从两个方面进行了介绍包括小波变换的发展及小波变换的思想。接下来分别从小波分析在地球物理勘探、信号和图像处理及在其他领域的应用说明了小波变换的如今的应用领域。最后简单的介绍了小波分析的应用前景及面临的主要问题并且把小波分析和傅里叶进行了简单的对比。第二章小波变换的基本原理小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理