2019浙江专升本高数真题及答案

年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）外落在这个区间（，使得有无穷多个点可以存在某个小的整数个）在这个区间外多只有内，而只有有限个（至在（都落时，所有的点，使得当总存在正整数的邻域（对于任意给定的成立时，不等式使得，总存在整数么小的正数对于任意给定的无论多时，都有，使得当，一定存在正整数对于正数），则说法不正确的是（设),.),),,.,.22.lim.10000aaDNaaXNnNaaaCaXNnNBaXNnNAaxnnnnnaxNnNaaxDnnn时，当则对于极限精确定义，若解析：,,0,lim存在存在存在存在是（）处可导的一个充分条件在点的某邻域内有定义，则设在点00000000000001lim.lim.lim.2lim..2xfhxfhDhhxfhxfChhxfxfBhxfhxfAxxhhhhhDChBA改为反推改成解析：010101010sin1.sin1.sin1.sin.sin12sin1sin11lim.3等于（）dxxninBnin101sin1sin1lim1解析：dxxDdxxCnBnAnnn1222121211)1(1.41.cos.100)1(..4散的是（）下列级数或广义积分发4sec1tan)1(1.36221arcsinlim122arcsin412.0coslim..20222022212dtttxdxxDxdxxxCnBABxn为瑕点发散条件收敛解析：xxxxxexccxyDexccxyCexccxyBecxcxyAyyy221221221221)()(.)()(.)()(.)(.04'4''.5的通解为（）微分方程xexccyrrryyyC22122)(,0)2,044,04'4''所以即（特征方程为由解析：非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）nnn)1sin1(lim.6极限eeennnnnnnnnnn11sinlim1sin1sin1)1sin1(lim)1sin1(lim解析：时的则雪堆的高度在时刻的关系为与时间设一雪堆的高度5,100)(.72ttthth变化率等于解析：10)5(',2)('htth间点上的导数因此瞬时速度就是该时的变化快慢程度，反映了因变量随自变量导数定义可以看出导数8.当a=时，0)()1ln(cos1lim30存在且不等于极限xxeaxx解析：xeaeaxxeaxxxxxxxx2)(lim)(21lim)()1ln(cos1lim3230因为极限存在且不等于0，且，02lim0xx1012)(limaaxeaxx，22,cossin.9dxydtytx则设解析：tttttdxydtdxdytdtdxtdtdy3222seccosseccos)'tan(tan,cos,sinnxxgxdttxgnx是同阶无穷小，则与时，且当设)(0,sin)(.1002解析：3,21),0(limsinlimsinlim)(lim1201200200nnCnxxnxxxdttxxgnxnxnxxnx1021.11dxx定积分解析：）（定积分几何意义2102221024141411RdxxRdxx12.dxdyxyexyyyx确定，则由方程设函数0)(解析：xeeyyeyxyyexyyyexyyxexyeyxyxyxyxyxyxyx'''0)'()'10)'()'0（（两边同时求导得：方程13.的拐点是曲线233)(xxxy解析：），处取得拐点，拐点（在时时，令2110'',1;0'',110'')1(666''63'2xyxyxxyxxyxxy14.轴所围成的曲边梯形绕及由曲线xxxxy2,1,x轴旋转一周所围成的旋转体体积=解析：2321)21221212xxdxdxxVx（15.设xy23，则______________ny.解析：nnxnxnxnxaaa2)3)(ln3()3(,))(ln()()(2)(2)()(所以三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分，计算题必须写出计算过程，只写答案不给分）16.极限201lnlimxxxx.解析：21)21(21)1(2)1(12111)1ln(limlimlimlim00020xxxxxxxxxxxxx17.设xxxxy)cos2ln(，求函数xy在1x处的微分.dxdyyxxxxxxxyxxxxyxxxxxxxxxee11lnln1)ln1()sin(cos21)ln()cos2(cos21)cos2ln()cos2ln()(解析：18.求不定积分dxxsin.cxxxcttttdtttttdtdtttdtttdtdxtxtx)sincos(2)sincos(2)coscos(2cos2sin22sin2,,2原式则解析：令19.设,2,2,0,cosxxxxxf，求dttfxpx0)(在,0上的表达式.821121sincos)(2sinsincos)(2022222020200xtttdttdtxpxxttdtxpxxxxx时，当时，解析：当20.一物体由静止考试以速度13ttt（米/秒）作直线运动，其中t表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.解析：令距离为S,则8013ttS令1tu，38,10,2,12ututududtut时，时，3123128040162)1(313duuuduuuttS21.问是否存在常数a使得函数0,10,2xexaxxfax在0x处可导？若存在，求出常数a，若不存在，请说明原因.解析：假设)(xf在0x处可导，则有：)(xf在0x处连续，故有),()(limlim00xfxfxx即0a故此时0,00,)(2xxxxf00)0()()0(200limlimxxxfxffxx000)0()()0(limlim00xxfxffxx故)(xf在0x处可导，0a22.求过点2,0,1A且与两平面01:1zyx，0:2zx都平行的直线的方程.解析：设直线的方向向量为s，平面1的法向量为)1,1,1(1n平面2的法向量为)1,0,1(2n，故由题意有1ns，2ns，)1,2,1(21nns直线方程为122011zyx23.求幂级数111nnxn的收敛区间及和函数，并计算级数11211nnn.解析：,11)()(.1limlim1xnnxuxuxnnxnnnn所以收敛区间为)1,1(令,1)(11nnxnxs当0x时，)0(11)(1xxnxxsnn0,1ln1)11(1)(111)(00111xxxdttxdttxxnxxsxxnnnn当0x时，1)0(s0,1)1,0()0,1(),1ln(1)(xxxxxs令21x则2ln2)21(111nnn四、综合题（本大题共三题，每题10分，共30分）24.设xfy是第一象限内连接点)4,0(M，)0,2(N的一段连续曲线，yxP,为该曲线上任意一点，点B为P在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OBPM的面积与曲边三角形BPM的面积之和等于另一曲线3244xxy在点324,4xxx处的切线斜率，求曲线xf的方程（注：曲边三角形BPM是指由直线段BP，x轴以及曲线段PN所围成的封闭图形）解析：有题意可知：3161)())(4(2132xdttfxxfx两边同时对x求导：221)()(21))(4(21xxfxfxxf即xxxfxxf4)(1)(4)4()4()(211cxxcxxxcdxexxexfdxxdxx25.假设某公司生产某产品x千件的总成本是213012223xxxxc（万元），售出该产品x千件的收入是xxr60（万元），为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少千件产品？（注：利润等于收入减总成本）解析：值取得极大值，且为最大时，当时，舍去），令则设利润)(50)(',5,0)('505(1,0)(',30246)(')0)(2130122(60)()()(),(223xfxxfxxfxxxxfxxxfxxxxxxcxrxfxf设xf在1,1上具有二阶连续的导数，且00f.（1）写出xf的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.（2）设m、M分别为xf在1,1上的最大值与最小值，证明：3311Mdxxfm（3）证明：在1,1上至少存在一点使得dxxff113.解析：)0(!2)('')0('!2)('')0('0()(122xxfxfxfxffxf））（）（233)(''3)(''3)('')2)('')0('()(11211MfmMfmfdxxfxfdxxf由于（3）111111)(3)(''],1,1[)(33)(3dxxffMdxxfmMdxxfm使得由介值定理可得所以由于