2017-2019三年高考-数学(理科)分类汇编-专题09-三角函数

专题09三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=2sincosxxxx在[,]的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又22π1π42π2()1,π2π()2f2π(π)01πf，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin|||sin|fxxx有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】C【解析】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为偶函数，故①正确．当ππ2x时，2sinfxx，它在区间,2单调递减，故②错误．当0πx时，2sinfxx，它有两个零点：0；当π0x时，sinsinfxxx2sinx，它有一个零点：π，故fx在,有3个零点：0，故③错误．当2,2xkkkN时，2sinfxx；当2,22xkkkN时，sinsin0fxxx，又fx为偶函数，fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数sinsinfxxx的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|B．f(x)=|sin2x|C．f(x)=cos|x|D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为sin||yx的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为coscosyxx，周期为2π，排除C；作出cos2yx图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4，2)单调递增，A正确；作出sin2yx的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4，2)单调递减，排除B，故选A．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()yfx的周期是函数()yfx周期的一半；②sinyx不是周期函数.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．255【答案】B【解析】2sin2cos21αα，24sincos2cos.0,,cos02ααααα，sin0,α2sincosαα，又22sincos1，2215sin1,sin5αα，又sin0，5sin5，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数fx=sin（5x）(＞0)，已知fx在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①fx在（0,2）有且仅有3个极大值点②fx在（0,2）有且仅有2个极小值点③fx在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D【解析】①若()fx在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()fx在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()fx在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当fx=sin（5x）=0时，5x=kπ（k∈Z），所以ππ5kx，因为()fx在[0,2π]上有5个零点，所以当k=5时，π5π52πx，当k=6时，π6π52πx，解得1229510ω，故④正确.③函数fx=sin（5x）的增区间为：πππ2π2π252kxk，732π2π1010kkx.取k=0，当125时，单调递增区间为71ππ248x，当2910时，单调递增区间为73ππ2929x，综上可得，fx在π0,10单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)fxAxA是奇函数，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且24g，则38fA．2B．2C．2D．2【答案】C【解析】∵()fx为奇函数，∴(0)sin0,=π,,0,fAkkkZ0；又12π()sin,2π,122gxAxT∴2，又π()24g，∴2A，∴()2sin2fxx，3π()2.8f故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数gx，再根据函数性质逐步得出,,A的值即可.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin3，则cos2A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】2217cos212sin12()39.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.8．【2018年高考全国卷II理数】若cossinfxxx在,aa是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π【答案】A【解析】因为πcossin2cos4fxxxx，所以由π02ππ2π()4kxkkZ得π3π2π2π()44kxkkZ，因此π3ππ3ππ,,,,,,044444aaaaaaa，从而a的最大值为π4，故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a的最大值.函数sin(0,0)yAxBA的性质：(1)maxmin=+yAByAB，.(2)周期2.T(3)由ππ2xkkZ求对称轴.(4)由ππ2π2π22kxkkZ求增区间；由π3π2π2π22kxkkZ求减区间.9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间35[,]44上单调递增B．在区间3[,]4上单调递减C．在区间53[,]42上单调递增D．在区间3[,2]2上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin25yx的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin2sin2105yxx.则函数的单调递增区间满足ππ2π22π22kxkkZ，即ππππ44kxkkZ，令1k可得一个单调递增区间为3π5π,44.函数的单调递减区间满足：π3π2π22π22kxkkZ，即π3πππ44kxkkZ，令1k可得一个单调递减区间为：5π7π,44.故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考浙江卷】函数y=2xsin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】令2sin2xfxx，因为,2sin22sin2xxxfxxxfxR，所以2sin2xfxx为奇函数，排除选项A，B；因为π,π2x时，0fx，所以排除选项C，故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为12,CC函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326Cyxxx，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2yx，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsincos(),cossin()22；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x而言.12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数π(3cos)fxx，则下列结论错误的是A．()fx的一个周期为2πB．()yfx的图象关于直线8π3x对称C．(π)fx的一个零点为π6xD．()fx在(π2，π)单调递减【答案】D【解析】函数()fx的最小正周期为2π2π1T，则函数()fx的周期为2πTkkZ，取1k，可得函数fx的一个周期为2π，选项A正确；函数()fx图象的对称轴为ππ3xkkZ，即ππ3xkkZ，取3k，可得y=f(x)的图象关于直线8π3x对称，选项B正确；πππcosπcos33fxxx，函数()fx的零点满足πππ32xkkZ，即ππ6xkkZ，取0k，可得(π)fx的一个零点为π6x，选项C正确；当π,π2x时，π5π4π,363x，函数()fx在该区间内不单调，选项D错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n)siyAx或(s)coyAx的形式，则最小正周期为2πT；奇偶性的判断