非平稳随机信号处理

1《非平稳信号分析与处理》组长：戚伟世讲课安排：第一小组：(1-4节)戚伟世胡春静望育梅喻小红宋卫林第二小组：（5-8节）张闯程卫军孙纲黄平牧吕尧新冯瑞军22时频表示与时频分布本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。时频表示与时频分析的提出分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变3换。2．1基本概念1．传统的Fourier变换及反变换：S（f）=dtetstfj2)(s（t）=dfefStfj2)(2．解析信号与基带信号⑴定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analyticsignal）z（t）定义为z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert变换。实函数的Hilbert变换的性质：若x(t)=н[s(t)]则有s(t)=-н[x（t）]s(t)=-н2[x（t）]⑵实的调频信号a（t）cos)(t对应的解析信号为z（t）=a（t）cos)(t+jн[a（t）cos)(t]=A（t）)(tje（2.1）⑶任何一个实调幅-调频信号a（t）cos)(t的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。⑷实窄带高频信号s（t）=a（t）cos[2πf0t+)(t]的解析信号为4z（t）=a（t）)(tjetfje02（2.2）将上式乘以tfje02，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称为基带信号zB（t）=a（t）)(tje它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。3．瞬时频率和群延迟⑴瞬时频率fi信号s（t）=a（t）cos)(t的瞬时频率定义为)](arg[21tzdtdfi可以看出它为解析信号的相位的导数。物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。⑵群延迟τg（f）频率信号的群延迟定义为τg（f）=)](arg[21fZdfd物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。54．不确定性原理对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=t和频谱Z（f）的有限宽度B=f分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：T2=2)(t=dttzdttzt222)()(和B2=2)(f=dffZdffZf222)()(对信号z（t）沿时间轴做拉伸zk（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即zzkTTk；类似地，可求出拉伸信号的带宽是原信号带宽的k1,即zzBkBk1。由此可见kzTkzB=zTzB=常数，这一结论说明对任何信号恒有TB=常数的可能性。命题：（不确定性原理）对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：时宽-带宽乘积=TB=tf≥41或TB=t≥21不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。2．2短时Fourier变换线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→Tz（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz26（t，f）1．连续短时Fourier变换⑴定义：给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为STFTz（t，f）=')]'()'(['2dtetttzftj（2.3）可以看出，由于窗函数γ（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程p（u）=dtdfetugftSTFTfujz2)(),(（2.4）=dtdttugtttzdfeutf')()'()'(][)'(2=dtdtuttugtttz')'()()'()'(=z(u)dttugtu)()(=z(u)dttgt)()(显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件：dttgt)()(=1（2.5）才能使p(u)=z(u)。7可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择：①g(t)=γ(t)②g(t)=(t)③g(t)=1当取条件①时，完全重构条件成为dtt2)(=1即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成：z(t)='')'()','('2dtdfettftSTFTtfjz（2.6）与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。以上讨论表明：短时Fourier变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFTZ（t,f），它在任一时刻t的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。短时Fourier反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFTz（t,f）恢复或综合得到原信号z(t)。2．短时Fourier变换的基本性质⑴频移和时移特性：),(),()'()'(0'2~~0fftSTFTftSTFTetztzzztfj（2.7）ftjzzefttSTFTftSTFTttztz0~200~),(),()'()'(8（2.8）以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。⑵将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有STFTZ（t，f）=tfje2')'()'('2dfefffZtfj（2.9）其中，谱窗)(f是时间窗)(t的Fourier变换。式（2.9）可以解释为信号)'(tz通过频率响应为)'(ff的滤波器输出乘以ftje2得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。将式（2.9）做变量代换：fff''',可得STFTZ（t，f）=')'()'('2dfefffZtfj（2.10）式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。3．窗函数g（t）的选择如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。如g(t)=(t)和g(t)=1即为两个极端的情况：当g(t)=(t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)=1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间9分辨率。综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g（t）的宽度与信号的局域平稳长度相适应。在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFTZ（t，f）能够有效地对应为信号z（t）在时频点（t，f）附近的“内容”。4．离散短时Fourier变换对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为：),(nmSTFT=kknFjemTkTkz)(2)()(z(k)=mknFjnemTkTgnmSTFT)(2)(),(其中，T0和F0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。与（2.5）相对应的约束条件为：mnkmTkTmTFnkTgF,)()1(12.3时频分布的一般理论1.信号的双线性变换和局部相关函数对非平稳信号)(tz进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。这10种时间和频率的联合函数),(ftP称为信号的时频分布。类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系：dttztzR)()()(*deRfSfj2)()(（2.12）我们定义非平稳信号的双线性变换为duuzuztutR)2()2(),(),(*（2.13）上式中使用对称形的双线性变换)2()2(*tztz更能表现出非平稳信号的某些重要性质。其中Φ（t,τ）为沿t轴滑动的窗函数，同时沿加权，),(tR称为“局部相关函数”。对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即信号能量的时频分布：detRftPfj2),(),(（2.14）这表明，时频分布),(ftP也可用局部相关函数),(tR来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。取窗函数),(tu＝)(tu，则有)2()2()2()2()(),(),(**tztzduuzuztutktRz（2.15）称为瞬时相关函数。它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布：11detztzftWftPfjz2*)2()2(),(),(（2.16）Wigner-Ville分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。2时频分布的基本性质要求对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布),(ftP具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布),(ftP满足下面的一些基本性质。性质1：实的（且是非负的）。性质2：边缘特性2|)(|),(fZdtftP信号在频率f的谱密度2|)(|),(tzdfftP信号在t时刻的瞬时功率可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。性质3：时频分布关于时间t和频率f的积分应给出信号的总能量E，即)(),(信号能量EdtdfftP性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率)(tfi和群延迟)(fg，即12dfftPdfftPftfi),(),(.)(和dtftPdtftPtfg),(),(.)(性质5：有限支撑特性如果信号)(tz只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱)(fZ也只在某个频率区间取非零值，则称信号z（t）及其频谱是有限支撑的。相应地，如果在)(tz和)(fZ的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。与此相对应，凡在信号)(tz和它的频谱)(fZ等于零的各区域，时频分布),(ftP等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”有限支撑