勾股定理的逆定理直角三角形的判定

X直角三角形的判定按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？•古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：（1）3，4，5；（2）4，6，8；（3）6，8，10。（1）这三组数都满足222cba吗？（2）它们都是直角三角形吗？动手画一画勾股定理的逆定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.且边c所对的角为直角互逆定理a2+b2=c2勾股定理的逆命题的证明如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。cabBCA已知：在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证：△ABC是直角三角形证明：画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=babA’B’C’已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，满足ABbcab1A1B1C证明：作∆111CBAbACaCB1111,111122211,,ACCACBBCbaBA1111222BAABcBAcba在△ABC和△111CBA111111BAABACCACBBC∴∆ABC)(111SSSCBA∠C=∠1C1CCa222cba求证：∠C=90°使∠则有中，△=90°≌=90°,三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.a2+b2=c2直角三角形cabBCA（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,c＝17例题解析(2)a＝13,b＝15,c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵152＋82＝225＋64＝289,172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形。角形这个三角形不是直角三2222221514132251536519616914132下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=12_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;3像(3，4，5)、(6，8，10)、(25，20，15)、(5,12,13)等满足a2+b2=c2的一组正整数,通常称为勾股数。利用勾股数可以构造直角三角形.n2－1，2n，n2＋1（n为大于1的正整数）是勾股数吗？3k、4k、5k（k≥2为正整数）也是一组勾股数吗13ABCDABCD34512例2一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？例题解析例3.在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面积。22222217815bca解∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90°∴△ABC的面积为.608152121ca81517ABC已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ABCD准备好了吗?S四边形ABCD=36中考链接B)(,2)(22则此三角形是满足条件、、三角形三边长abcbacbaA、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形1.练一练3．如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判定△ABC的形状.(二)解答题：练习这个三角形是直角三角形．3、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思维训练吗?说明理由△ABC是直角三角形n是正整数)，m,n,(m且cb,a,分别为△ABC三角形的三边1、已知nm=c2mn,=b,n-m=a2222分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。2222222222)()2()(cnmmnnmba解：∴△ABC是直角三角形练一练1、勾股定理的逆定理2、怎样判断一个三角形是否为直角三角形?3、熟悉常用的勾股数。……七：师生互动（小结）ABCabcc如果的三边长为、、其中为最长边1ABC222，若a+b=c则为：2ABC222，若a+bc则为：3ABC222，若a+bc则为：直角三角形锐角三角形钝角三角形,,ABCabc一通过本节课的学习你知道的三边在数量上满足如下关系时分别为什么三角形？二满足222a+b=c的三个正整数，称为勾股数。PRQSNE例2“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?拓广与应用判断：若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2；（）勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言表述:∵a2+b2=c2∴∠C=90°例2已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？3.2勾股定理的逆定理设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？拓展延伸：3.2勾股定理的逆定理若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.思考：3.2勾股定理的逆定理思考：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是不是直角三角形？定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.这个结论是勾股定理的逆定理书写格式：∵a2+b2=c2∴ΔABC为RtΔ满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。已知：cabBCA△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证：△ABC是直角三角形7如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且∠ABC＝90°，求这个四边形地的面积。（单位：米）ABDC3413128已知3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k≥2为正整数）也是一组勾股数吗(二)解答题：1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m、n为正整数，m＞n).试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．不是练习思考1:△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，若S1+S2=S3成立，则△ABC是什么三角形？为什么？ABCabcS1S2S3acb思考2:已知△ABC是直角三角形,以a,b,c为边向外作正方形，有S1+S2=S3？为什么？a2+b2=c2直角三角形直角三角形a2+b2=c27.如图：AD⊥CD，AC⊥BC,AB=13，CD=3，AD=4。求：(1)求AC长(2)求BC长8.如图,AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4。求：(1)求AC长(2)∠ACB的度数。BADC1334BADC121334勾股定理与逆定理的综合运用9.如图,AC⊥BC，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4。求：(1)求AC长(2)求的面积。BADC121334ADC勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角.a2+b2=c2互逆命题逆定理定理1、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?此时四边形ABCD的面积是多少?2、已知a，b，c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.思维训练∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’(全等三角形对应角相等）∴∠C=900BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’cabBCAabB'C'A'已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形（或∠C=900）证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆定理的证明古埃及人曾用下面的方法得到直角变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？3.2勾股定理的逆定理