等比数列的求和公式

12知识回顾：2.通项公式：11nnqaa3.等比数列的主要性质：②在等比数列{}中，若则()naqpnmqpnmaaaaNqpnm,,,①成等比数列bGa,,abG2(G,a,b≠0)1.等比数列的定义：qnnaa1Nnq,0（常数）（）,mnmnqaag相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！数学小故事创设情境、提出问题第1格：第2格：第4格：第3格：第63格：第64格：122232622632……64S236312222.(1)请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(12222).642S即23636422222.(2)64642SS23463(122222)…2346364(222222)230-1=1073741823646421S这种求和的方法,就是错位相减法!191.841018446744073709551615如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211①②①—②，得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(错位相减法qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；1q1q2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为：10解:例1求等比数列的前8项的和.,81,41,218,21,211nqa2112112188S.256255qqaSnn1)1(1:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q12例2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.,2,11qa解：.1521)21(144S.102321)21(11010S.1008151023410SS从第5项到第10项的和:10s.,,,,,10654321aaaaaaa4s？13,21,231qa解：求等比数列从第3项到第7项的和.,83,43,23.1283812112112377S所以从第3项到第7项的和为：.1281534912838143237S练习•4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1.易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1，∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)答案：13(4n－1)15根据下列条件，求相应的等比数列的作业.0,16,81)3(51naaa8116154aaq32qnanS;6,2,3)1(1nqa;5,21,8)2(1nqa.18921)21(366S.231211211855S2113213216815s等比数列的前n项和（二）有关的性质,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为：复习回顾引入新课321nnnnaSa例已知数列前n项和，求此数列的通项，并证明它是一个等比数列。分析：判断一个数列是等比数列（或等差数列），一定要用定义来判断：任意两相邻的项具有某种特征：比（或差）为定值。111,aS解：由已知，得111  (21)(21)2nnnnnnaSS1112(*)nnaanN又满足上式，112 2(*)2nnnnanNa由于na是一个等比数列2n当时，111naSAqB当时，1112()()nnnnnnnaSSAqBAqBAqAq当时，0naAqBAqABAAB若是等比数列，则，，即0nABa当时，不是等比数列。1(1)1nnnnnaqSSSAqBq由得探究是形：如的式子，0AB且，nna反之，若一个数列的前项和为0,1nnSAqBAq，，na则数列是等比数列吗？0nABa当时，是等比数列；等比数列前n项和的性质一：)0(AAAqSnn-是等比数列数列}{na类似结论：是等比数列数列}{na)1,0(AABBAaSnn相反数例题解析nana,13nnmS例1、若等比数列中，21nana181则实数m=-1练习：1、已知等比数列的前n项和为,6131nnxS则x的值为2、已知等比数列的前n项和为,232aSnn则a的值为3、已知等比数列的前n项和为,5342aSnn则a的值为454等差数列中依次每k项的和，仍成等差数列。在等比数列中，是否也有类似的性质？71472114nnaSSSSSS已知数列是等比数列，是其前项和，求证：，，成等比数列。71141211171421qSaSaSa证明：时，，，，147211470SSSSS此时，71472114SSSSS，，成等比数列1q当时，7142111171421(1)(1)(1)111aqaqaqSSSqqq，，271422147221114722()(1)()(1)(1)aqqaqqSSqq此时7142121472111721142(1)()(1)()11(1)aqaqqaqqSSSqqq214772114()()SSSSS71472114SSSSS，，成等比数列探究:对于一般的等比数列，其前n项nSnammmmmSSSSS232,,也成等比数列的和为，则的值。求，，，若项和为的前例：等比数列mmmnnSSSSna323010}{703mS解得：成等比数列，，mmmmmSSSSS232--)()(2322mmmmmSSSSS--)30(10)1030(32--mS即：解：qSS奇偶等比数列前n项和的性质三：等比数列前n项和的性质四：：、，有对的等比数列为公比为如果NpmqanpmmpmSqSS项，则：共有若等比数列nan22221222111,,11.nnaqaqSSqqSaqSa偶奇偶奇推导过程:例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.:,解设此数列的公比为q项数为2n.1702.85SS偶奇则q=221221185,85.1128,8.nnaqqSqqn奇又即即此数列共有项变式训练：已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？提示：285170奇偶SSq25585170奇偶SSSn项和公式得：由等比数列前n2121255-n8n1234910111217181920naaaaaaaaaaaaa2:已知等比数列,+++=4,+++=16,求+++的值.:,naq解设等比数列为8910111212348,4.aaaaaaaaqq++++++8171819209101112()64.aaaaaaaaq++++++1359911.,602________.qaaaa100已知等比数列的公比为且++++则S90练习[例4]已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且a1，a2，a3，…，an成等差数列(n为正偶数)．又f(1)＝n2，f(－1)＝n，试比较f(12)与3的大小．[分析]确定{an}的通项公式，利用错位相减法解题．[解]f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝n2，①f(－1)＝－a1＋a2－a3＋a4－…－an－1＋an＝n，②由于{an}是等差数列，n是偶数，故由②得n2(an－an－1)＝n，即d＝2.把d＝2代入①，得na1＋nn－12×2＝n2.化简，得a1＋n－1＝n.∴a1＝1.于是an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．f(12)＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n－1)·(12)n，12f(12)＝1·(12)2＋3·(12)3＋…＋(2n－3)·(12)n＋2n－12n＋1.把两式相减，得：(1－12)f(12)＝12－2n－12n＋1＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n]＝12－2n－12n＋1＋2·122[1－12n－1]1－12.∴f(12)＝1－2n－12n＋2－(12)n－2＝3－n2n－1＋12n－12n－2.即f(12)3.迁移变式4在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.bn＝an2n－1(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)∵an＋1＝2an＋2n，∴an＋12n＝an2n－1＋1，∵bn＝an2n－1，∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1，b1＝1，故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知bn＝n，an＝n2n－1，则Sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减，得Sn＝n·2n－20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1.作业在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；(3)若q＝2，S4＝1，求S8.)0(AAAqSnn-是等比数列数列}{na等差数列前n项和的性质：也成等比数列。为等比数列kkkkknSSSSSa232,,。公比为且新等比数列首项为kkqS，