二次函数与一元二次方程

第15讲┃二次函数与一元二次方程第15讲┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数2个Δ0两个________实根1个Δ＝0两个________实根没有Δ0________实根不相等相等没有第15讲┃考点聚焦考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a0开口向上aa0开口向下b＝0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧bab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧第15讲┃考点聚焦c＝0经过原点c0与y轴正半轴相交cc0与y轴负半轴相交b2－4ac＝0与x轴有惟一交点(顶点)b2－4ac0与x轴有两个不同交点b2－4acb2－4ac0与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c0，即x＝1时，y0若a－b＋c0，即x＝－1时，y0第15讲┃考点聚焦考点3二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1：图15－1第15讲┃考点聚焦[注意]确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．第15讲┃归类示例归类示例►类型之一二次函数与一元二次方程命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间的关系；2．图象法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．例1抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．(3，0)[解析]把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，所以原方程为y＝x2－4x＋3，令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．►类型之二二次函数的图象的平移命题角度：1.二次函数的图象的平移规律；2.利用平移求二次函数的图象的关系式．第15讲┃归类示例例2[2013·扬州]将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是()A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x－2)2－2B[解析]抛物线y＝x2＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2－2.故选B.第15讲┃归类示例1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．2．平移的变化规律可为：(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.第15讲┃归类示例例3[2012·广安]如图15－2，把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m.抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．图15－2272第15讲┃归类示例[解析]过点P作PM⊥y轴于点M.∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3，得出二次函数的关系式为：y＝12(x＋3)2＋h，将(－6，0)代入，得0＝12(－6＋3)2＋h，解得h＝－92，∴点P的坐标是－3，－92，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝3×－92＝272.第15讲┃归类示例变式题[2013·绵阳改编]已知抛物线：y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图15－3，设它的顶点为B.(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，求抛物线C′的关系式和直线EF的关系式．图15－3第15讲┃归类示例解：(1)抛物线与x轴只有一个交点，说明Δ＝0，∴m＝2.(2)证明：∵抛物线的关系式是y＝x2－2x＋1，∴A(0，1)，B(1，0)，∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OBA＝45°，A，C是关于对称轴x＝1的对称点，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．►类型之三二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系例4[2012·重庆]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示，对称轴x＝－.下列结论中，正确的是()A．abc0B．a＋b＝0C．2b＋c0D．4a＋c2b第15讲┃归类示例命题角度：1.二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；2.图象上的特殊点与a，b，c的关系．图15－4D第15讲┃归类示例[解析]A项，∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－b2a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B项，∵对称轴x＝－b2a＝－12，∴a＝b，故本选项错误；C项，当x＝1时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误；D项，∵对称轴为直线x＝－12，图象与x轴的一个交点的横坐标x1的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范围为x2＜－2，∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故本选项正确．故选D.第15讲┃归类示例二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．►类型之四二次函数的图象与性质的综合运用例5[2013·连云港]如图15－5，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式；第15讲┃归类示例命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用．(2)求△ABD的面积；(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．第15讲┃归类示例图15－5第15讲┃归类示例[解析](1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的关系式．(2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可．第15讲┃归类示例第15讲┃归类示例(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．第16讲┃回归教材解：(1)设上涨后，每件单价为x元，则y＝(x－60)[300－10(x－80)]＝(x－60)(300－10x＋800)＝(x－60)(1100－10x)＝－10x2＋1700x－66000，即y＝－10x2＋1700x－66000.(2)y＝－10x2＋1700x－66000＝－10(x－85)2＋6250.因为－10＜0，所以当x＝85时，y有最大值，y最大值＝6250.即单价定为85元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为6250元．