初二数学.秋.直升班.教师版.第3讲--几何变换之轴对称(一)

26初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版模块一对轴对称的初步认识轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：直观认识：定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。模型I：最小问题ABlP'PA'BlBPAlBP第三讲几何变换之轴对称（一）初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版27ADPB2POC1POA'CCEDF'DBOABCPD'P模型II：最大问题P'PBAlPB'BAl模块三常见轴对称的模型角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。但是在这三种中，同学们在运用的过程中，往往第二种辅助线方式同学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴对称的本质。翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。通常情况下，和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识，所以老师可以略讲，重点是让孩子们练习。28初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版（1）如图1-1，直线l是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：①ABCD∥；②ACBD；③AOOC；④ABBC，其中正确的结论有_______．（2）（成外）如图1-2，ABE△和ACD△是ABC△分别沿着AB，AC边翻折180形成的，若130BAC，则EFC的度数是________．ODCBAlFEDCBA图1-1图1-2（1）①②③；（2）100．【教师备课笔记】这道题主要考察轴对称的性质，对应边和对应的角度相等．在正ABC△内取一点D，使DADB，在ABC△外取一点E，使BDEDBC，且BEBA，求BED．ABCEDABCED如图所示，连接DC．因为ADBD，ACBC，CDCD，则ADCBDC△≌△，故30BCD．而DBEDBC，BEABBC，BDBD，因此BDEBDC△≌△，故30BEDBCD．【教师备课提示】这道题主要是让大家找到对称的感觉，实际上给我们的很多图实际是就是很多是轴对称，但是需要自己去添加辅助线去找到．例2例1模块一对轴对称的初步认识初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版29如图，已知60ABDACD，且1902ADBBDC．求证：ABC△是等腰三角形．ABCDABCED延长BD到E，使得DECD，连接AE．∵1902ADBBDC，∴2180ADBBDC，即180ADCADB．∵180ADEADB，∴ADCADE，∵CDDE，ADAD，∴(SAS)ADCADE△≌△，∴60ACDE，ACAE，∵60ABDACD，∴ABDE，∴ABAE，∴ABAC∴ABC△是等腰三角形．（1）如图4-1，在ABC△中，90ACB，以AC为一边在ABC△外侧作等边ACD△，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，15cmAB，9cmBC，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若PBC△的周长最小，则最小值为（）．A．21cmB．22cmC．24cmD．27cm（2）已知如图4-2，正方形ABCD的边长为3，E在BC边上，且1EC，P是BD上一动点，则PEPC的最小值（）．A．5B．11C．13D．15PFEDCBAPEDCBA模块二“将军饮马”问题例4例330初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版E'PECBA（1）C；（2）C．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型只有一个动点的情况，常考．（1）（四川竞赛改编）如图5-1所示，在等腰RtABC△中，3CACB，E是BC上一点，满足2BE，点P是斜边AB上任意一点，PCPE的最大值和最小值分别记作s和t，求22st的值．（2）（全国初中联赛）如图5-2，设正ABC△的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求22st的值．ABCEPABCMP图5-1图5-2（1）226610st找点E关于AB的对称点'E，连接'BE、'PE，所以''PCPEPCPECE，ABC△为等腰直角三角形，45ABC，'90CBE当且仅当C、P、'E三点共线时，PCPE的值最小，该最小值为222313．当点P在AB上移动时，极限情况在A和B位置.当点P位于点A时，310PCPEACCE，当点P位于点C时，5PCPEBCBE．故PCPE的最大值为310．故226610st．（2）作点M关于BC的对称点'M，连接'AM、'PM．由点M、'M关于BC对称可知，'PMPM．故''PAPMPAPMAM当且仅当A、P、'M共线时，等号成立，故22(')7tAM．例5M'MPCBA初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版31另外两个临界位置在点B和点C处．当点P位于点C处时，23PAPMACCM；当点P位于点B处时，3PAPMABBM．故22(23)743s，2243st．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中只有一个动点的情况，而且是考察一个动点的最大和最小情况，关键是轴对称．（1）（2013-2014武侯区统考）在锐角三角形ABC中，32BC，45ABC，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CMMN最小值是______________．（2）如图，30AOB，2OC，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得CMMN最小，求出此最小值．CBAMNOC'ONMABC（1）3；（2）如图所示，易得3CMMN≥．（1）如图7-1，30AOB∠，点P位于AOB∠内，3OP，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求PMN△的最小周长．ABOPNMABO''PP'PNM（2）若60AOB∠，其它条件不变，则PMN△的最小周长是多少．（1）分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接OP、OP、PP、'PM、PN，例7例632初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版显然PMN△的周长，PMMNPNPMMNPN，由两点间线段最短，PMMNPNPP≥，故PMN△的最小周长为PP，∵30AOB∠，3OPOPOP，∴POP△是等边三角形，∴3PP，PMN△的最小周长为3．（2）33．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中有两个动点的情况，关键是轴对称，注意这个题我们从（1）中还可以得到不论P在角内部的什么地方，以O，P、P为顶点的三角形始终是等边三角形．在ABC△中，45A∠，7AB，42AC，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的动点，求DEF△的最小周长．BAEFDCD''D'FEDCBA285442543NMABC当点D固定时，分别作点D关于AB、AC的对称点D、D，应用上面结论可得DEEFDFDEEFFDDD≥，∵45A∠，∴ADD△是等腰直角三角形，2DDAD，故2DEEFDFAD≥，当AD最小时，即AD为ABC△的高，且D、E、F、D四点共线，DEF△的周长最小为2AD．求高AD如图所示．最小周长为2825．（此三角形即为著名的垂足三角形）【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中三个动点的问题，属于难题．例8初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版33如图，I是ABC△的内心（三角形三条角平分线的交点），且CAAIBC．若80BAC，求ABC和AIB的大小．BACIBACID404020因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题变得容易解决．如图，在BC上取点D，使CDAC，连接DI．因为CAAIBC，所以BDAI．在ACI△和DCI△中，ACDC，ACIDCI，CICI．所以ACIDCI△≌△．于是AIDI．所以DIBD．因为80BAC，所以40CAI，40CDI．又CDI是等腰BDI△的外角，所以1202DBIDIBCDI，40ABC．在AIB△中，40BAI，20ABI，所以180(2040)120AIB．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将DEC△沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．（1）求证：BEAF；（2）如果9AB，:1:4ECBE，求线段DE的长．（1）ABCDDF，90ABEDFA∠∠，AEBDAF∠∠，∴ABEDFA△≌△，∴BEFA（2）∵ABEDFA△≌△，∴AEDA，设CEx，则4BEx，5BCBECEx，5AEADBCx，在ABE△中，222ABBEAE，2229(4)(5)xx，解得3x，∴3CE，又9CDAB，∴22310DECECD．例9例10模块三常见轴对称的模型FECBDA34初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版已知：三点(3,1)A、(4,1)B、(6,0)C，点P为x轴上一动点．（1）当OAP△与CBP△周长的和取得最小值时，求点P的坐标；（2）求证：45AOCBCO；（3）当35APB时，求OAPPBC度数．PyxO1234561232121ABC备用图yxO1234561232121ABC备用图yxO1234561232121ABC（1）如图1，作点A关于x轴的对称点A，可得(3,1)A．连接'AB交x轴于点P．设直线AB的解析式为0ykxbk，可得此直线的解析式为27yx．当0y时，3.5x．当APBP取得最小值时，可得OAP△与CBP△周长的和取得最小值，此时，点P的坐标为(3.5,0)．（2）如图2，设AA交x轴于点K，连结AB、AC．则(3,0)K，∴3OKCK，1AKAK，10OACA，∴OKACKA△≌．∴AOKACK．∵(3,1)A，(4,1)B，(6,0)C，∴5ABBC，例11初二数学.秋第3讲目标名校直升班教师版35图1PA'yxO1234561232121ABCK图2A'yxO1234561232121ABC又∵10AC，∴222ACABBC，∴ABC△为等腰直角三角形．∴45BCABCOACO，∵AOCACO，∴45AOCBCO．（3）当35APB时，360OAPPBCAOCBCOAPOBPC36045(18035)170．【教师备课提示】这道题属于综合题，实际上相当于把将军饮马模型放到了坐标系中，和一次函数想结合，这种问题是学生们