线性空间与线性变换(重要)

第三章线性空间与线性变换3.1线性空间的定义与性质0数轴平面三维空间yxzOxyO常见的几何空间：几何空间R3的运算运算规律加法：数乘：;()kkR33(3)0,,0;RR中存在零元素对都有;)1(;)2((8)1;(5);(7).(6);33(4),,()0;RR对任何存在负向量使()，R对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。线性空间若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作FVV定义１设是一个非空集合，为一个数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作V,VVF如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:(3)0,,0;VV中存在零元素对都有;)1(;)2((8)1;(5);(7).(6);(),,;VV40对任何都有的负元素使()，F那么就称为数域上的线性空间．VF2．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．注1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算．特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例1实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．nmnmR,nmnmnmCBA,nmnmDA.mnR是实数域上的线性空间(),nmmnRnmR11111由行向量组构成的线性空间称为维行向量空间；,由列向量组构成的线性空间称为维列向量空间.()nnn2维行向量空间和维列向量空间统称为维向量空间.()nRn3如无特别说明表示维列向量空间.注易验证加法和数乘满足八条运算律.加法：)()(0101bxbxbaxaxannnn)()()(0011baxbaxbannn][xPn)(01axaxann)()()(01axaxann][xPn[]nPx故对加法、数乘运算封闭,因此构成实数域上的线性空间.1010,[],[]{|,...,,},,.nnnnnnPxPxpaxaxaaaaR次数不超过的多项式的全体记作即对于通常的多项式加法数乘多项式的乘法构成实数域上的线性空间例2数乘:[]{|,...,,}.nnnnnnQxpaxaxaaaaRa10100注次多项式的全体且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间例3全体正实数R+,定义加法和数量乘法如下：,,,,kabababRkaakRaR解：,,abRababR，故加法运算封闭；(3),;aRaa存在零元，使都有(1);abba(2);abcabc零元为常数1,kkRaRkaaR，，故数乘运算封闭。1(8)1.aaa(5);aa(7)abab；(6)()();aaa故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实数域上的线性空间。(4),;aRa对任何都存在的负元素负元为1/a注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间的简单性质：①零元素是唯一的；②负元素是唯一的；③0=0;k0=0;(-1)=-；④如果k=0,那么k=0或=0。01=01+02=02-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2))=((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-23.4线性子空间对三维几何空间：yxzO任何过原点的平面是R3的子集在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。R3的线性子空间线性子空间定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间.定理:W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要条件是,,,.WkFkW有V的子空间注V和零子空间是V的平凡子空间；其它子空间称为V的真子空间.生成子空间,,,,sV12设则(,,,){|,,,}ssssLkkkkkkF12112212.VL上述集合记为是的子集..LV易证是的子空间..ssL1212,,,,,,我们称是由生成的子空间是它的生成向量组3.2向量的线性相关性•如果线性空间V以通常的向量作为元素，即V中含有无穷多个向量。如何用有限个向量刻划空间中的所有向量？需要讨论向量间的关系.如三维几何空间：yxzO(,,)rxyzxiyjzk(,,);(,,);(,,).ijk100010001,,rijk与线性相关kcidj无法表示成的形式线性组合与线性表示设V是数域F上的一个线性空间，是V中的一组向量，是数域F中的数，那么向量,,,s12,,,skkk12sskkk1122,,,s12称为向量的一个线性组合，有时也称向量可以由线性表示。例1:nnxxexexe1122,,...,nneee12维单位向量组线性表示:(,,,)12nTnnRxxxx维向量空间中任一向量可由===,=12344123111111111111例2设，，，问能否由，，线性表示？.=++4123解：观察发现：线性相关与线性无关设V是数域F上的一个线性空间，且如果在数域F中存在s个不全为零的数,使得,,,.sV12,sskkk11220,,,12skkk,,,s12则称向量组线性相关.,,,s12否则称向量组线性无关，即若,sskkk11220则必有=.skkk120此时至少有一个向量可以由其他向量线性表示。进一步来理解向量组的线性相关与线性无关考虑等式)(02211rrkkkr12向量组，，，线性相关：r12向量组，，，线性无关：总成立。时，等式当关，是线性相关还是线性无，，，无论向量组)(02121rrkkk()rkkk12至少有两组以上的数，，，，使得等式成立。()rrkkkkkk12120只存在唯一的一组数，，，，使得等式成立，即注：(1)给定向量组，该向量组要么线性相关，要么线性无关。(2)含有零向量的向量组一定线性相关。(3)向量组只包含一个向量时：若,则说线性相关；0若,则说线性无关。0,,,s12TTTneee12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)n例3.维向量组n称为维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.解：令++nnkekeke11220即nkkk120故,,,.neee12线性无关1231021,2,4157例4.已知,,,12312.试讨论向量组及的线性相关性解：令+xxx1122330即2+4+7xxxxxxxx1312312302050系数矩阵为方阵,102124157A故方程组Ax=0存在非零解.即线性相关.,,123,0A且A102102102124022022157055000即r(A)=23，故Ax=0存在非零解.另解：同理，对,令,12kk11220即kkkkk1121202050.kk120得故线性无关.,12注：向量组只包含两个非零向量时，则,12,==122112线性相关，使或定理1n维列向量组线性相关的充要条件是r(A)s，其中,,,s12,,,).(sA12线性相关性的判定推论n个n维列向量组线性相关的充要条件是|A|=0，其中,,,).(nA12,,,n12注：若给定的是行向量组，需要将其转化成列向量组。1234(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),(4,6,2,2,4),(3,6,9,7,9).A21431166122911272449例5设,,,1234判断是线性相关还是线性无关？解rrrr3221,11660102008900890000116603815038150281306821故r(A)=35,,,.125线性相关1166010200890000000028证123112223331123,,,,,,,bbbbbb例6.已知向量组线性无关试证线性无关,.xxxxbxbxb123112233,,,0,设有三个数使得xxx112223331()()()0,即xxxxxx131122233()()()0,亦即123,,因线性无关,故有xxxxxx1312230,0,0.xxxxxx1312230,0,0.10111020,011由于此方程组的系数行列式xxx1230,故方程组只有零解bbb123,,.所以向量组线性无关定理2向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示.定理3,,,s12,,,,,,ssst121线性相关线性相关定理4,,,s12线性无关,,,,s12线性相关,,,可由线性表示，且表示法唯一.s12部分相关,则整体相关;整体无关,则部分无关.向量组的等价ms1212,,,,,,.::向量组等价.设有两个向量组(I)及(II)若(II)组中的每个向量都能由向量组(I)线性表示,则称向量组(II)可由向量组(I)线性表示,若向量组(I)与向量组(II)能相互线性表示,则称这两个ABCAAABBAABBCAC,,：与，，.设是向量组，则(1)反身性与等价(2)对称性：等价则与等价(3)传递性:与等价与等价,则与等价性质定理1下列命题等价(1)mnmssnCAB(2)C的行向量组可由B的行向量组线性表示(3)C的列向量组可由A的列向量组线性表示TTsTTsTTmmmsmsaaaaaaaaa1111211212222212nnnssssnbbbbbbbbb1112121222121212(,,,)(,,,)推论1矩阵A经过初等行(列)变换化为B,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。定理2若向量组线性无关，且可由线性表示，则r12,,,s12,,,rs.推论2等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量.•如果线性空间中含有无穷多个向量。如何找出有限个向量刻划空间中的所有向量？