线性空间与线性变换习题解析

第六章习题课一、线性空间的定义定义:设V是一个非空集合,R为实数域.如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一个元素V与之对应,称为与的和(简称加法运算),记作=+.若对于任一数R与任一元素V,总有唯一的元素V与之对应,称为数与的积(简称数乘运算),记作=.如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):设,,,OV,1,l,kR,(1)加法交换律:+=+;(2)加法结合律:(+)+=+(+);(3)零元素:存在OV,对任一向量,有+O=;(4)负元素:对任一元素V,存在V,有+=O,记=–;(5)1=;(6)数乘结合律:k(l)=(lk);(7)数乘对加法的分配律:k(+)=k+k;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)=k+l.二、线性空间的性质1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3.0=0;(–1)=–;0=0.4.如果=0,则=0或=0.三、线性空间的子空间定义2:设V是一个线性空间,L是V的一个非空子集,如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称L为V的子空间.定理:线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是:L对于V中的线性运算封闭.四、线性空间的基与维数定义:在线性空间V中,如果存在n个元素1,2,···,nV,满足:(1)1,2,···,n线性无关;(2)V中任意元素总可以由1,2,···,n线性表示,则称1,2,···,n为线性空间V的一个基,称n为线性空间V的维数.当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时,就称V是无限维的.维数为n的线性空间V称为n维线性空间,记作Vn.若1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn可表示为:Vn={=x11+x22+···+xnn|x1,x2,···,xnR}五、元素在给定基下的坐标定义:设1,2,···,n为线性空间Vn的一个基,对任意V,总有且仅有一组有序数x1,x2,···,xn,使=x11+x22+···+xnn,则称有序数组x1,x2,···,xn为元素在基1,2,···,n下的坐标,并记作=(x1,x2,···,xn)T.线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同.在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标的运算,因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论.定义:设U,V是两个线性空间,如果它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间U与V同构.结论1.同一数域P上的同维数线性空间都同构;结论2.同构的线性空间之间具有等价性.同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.六、基变换公式与过渡矩阵+++=+++=+++=nnnnnnnnnnppppppppp22112222112212211111设1,2,···,n及1,2,···,n是n维线性空间Vn的两个基,且有称以上公式为基变换公式.在基变换公式中,矩阵P称为由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵,过渡矩阵P是可逆的.(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P将上式用矩阵形式表示为:七、坐标变换公式定理1:设n维线性空间Vn中的元素,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,若两个基满足关系式:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P.则有坐标变换公式:,'''2121=nnxxxPxxx.'''21121=nnxxxPxxx或反之,若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式,则两个基满足基变换公式:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P.八、线性变换的概念定义:设有两个非空集合A,B,如果对于A中任一元素,按照一定规则,总有B中一个确定的元素和它对应,那么,这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射),记作=T()或记作=T(A).设A,T()=,就说变换T把元素变为,称为在变换T下的象,称为在变换T下的源(或象源),称A为变换T的源集,象的全体所构成的集合称为象集,记作T(A),即变换概念是函数概念的推广.T(A)={=T()|A}.显然,T(A)B.定义:设Vn,Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间,T是一个从Vn到Um的变换,如果变换T满足:(1)任给1,2Vn,都有T(1+2)=T(1)+T(2);(2)任给Vn,kR,都有T(k)=kT().则称T为从Vn到Um的线性变换.一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换.零变换O:O()=0恒等变换(或称单位变换)E:E()=,V,九、线性变换的性质1.T(0)=0,T(–)=–T().2.若=k11+k22+···+kmm,则T=k1T1+k2T2+···+kmTm.3.若1,2,···,m线性相关,则T1,T2,···,Tm亦线性相关.注意:若1,2,···,m线性无关,则T1,T2,···,Tm不一定线性无关.4.线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子空间,称T(Vn)为线性变换T的象空间.5.ST={|T1=0,Vn}(经T变换到0的全体元素构成的集合)是Vn的子空间.称ST为线性变换T的核.对Rn上的线性变换:T(x)=Ax,xRn,则有(1)T(x)=Ax的象空间T(Rn)就是由1,2,···,n所生成的向量空间:即T(Rn)={y=x11+x22+···+xnn|x1,x2,···,xnR}(2)T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解空间.十、线性变换的矩阵表示式表示,其中A=(T(e1),T(e2),···,T(en))Rn中任何线性变换T,都可用关系式T(x)=Ax(xRn),212222111211=nnnnnnaaaaaaaaae1,e2,···,en为单位坐标向量组.十一、线性变换在给定基下的矩阵+++=+++=+++=nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111)()()(定义:设T是线性空间Vn中的线性变换,在Vn中取定一个基1,2,···,n,如果这个基在变换T下的象为其中T(1,2,···,n)=(T(1),T(2),···,T(n)),则上式可表示为记T(1,2,···,n)=(1,2,···,n)A,212222111211=nnnnnnaaaaaaaaaA则称A为线性变换T在基1,2,···,n下的矩阵.结论:在Vn中取定一个基后:由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A;反之,由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T.在给定一个基的条件下,线性变换与矩阵是一一对应的.十二、线性变换在不同基下的矩阵定理1:设线性空间Vn中取定两个基:由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵为P,Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B,那末B=P-1AP.1,2,···,n;,定义:线性变换T的象空间T(Vn)的维数,称为线性变换T的秩.若A是线性变换T的矩阵,则T的秩就是R(A).若线性变换T的秩为r,则T的核ST的维数为n–r.1.线性空间的判定典型例题(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加乘运算,则只需检验运算的封闭性.(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加,乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.例1:正实数的全体记作R+,在其中定义加法及乘数运算为:ab=a+b,°a=a,(R,a,bR+)问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的)线性空间.解:可以验证,所定义的运算是上的运算.但对于八条运算规律并不都成立.对(7),(8)两条不成立.例如,(8)(k+l)°a=ak+l=akal所以,R+对所定义的运算不构成线性空间.ak+al=akal=k°al°a.2.子空间的判定例1:设A为n阶实对称矩阵,问在什么条件下满足xAxT=0的n维实向量x=(x1,x2,···,xn)构成Rn的子空间?解:记V={x=(x1,x2,···,xn)|xAxT=0}显然0V,所以V非空.对任意的xV,kR,有xAxT=0.(kx)A(kx)T=k2(xAxT)=0,则所以kxV.因此,V构成Rn的子空间的条件为:对任意的x,yV,有(x+y)A(x+y)T=0.而(x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT由于x,yV,则有xAxT=0,yAyT=0.所以,(x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT=2xAyT=0故,V构成Rn的子空间需要再增加条件:对任意的x,yV,有xAyT=0.3.求向量在给定基下的坐标证一:因为P[x]2是3维线性空间,所以P[x]2中任意三个线性无关的向量都构成它的一组基.例3:证明:1,x–1,(x–2)(x–1)是P[x]2的一组基,并求向量1+x+x2在这组基下的坐标.而1,x–1,(x–2)(x–1)P[x]2,令k1·1+k2(x–1)+k3(x–2)(x–1)=0(k1–k2+2k3)+(k2–3k3)x+k3x2=0整理得比较等式两边得,00302332321===+kkkkkk由方程组易得k1=k2=k3=0,于是1,x–1,(x–2)(x–1)线性无关,所以1,(x–1),(x–2)(x–1)是P[x]2的一组基.设1+x+x2在给定基1,(x–1),(x–2)(x–1)下的坐标为:(a1,a2,a3)T.则有1+x+x2=a1·1+a2(x–1)+a3(x–2)(x–1),整理得比较等式两边得:1+x+x2=(a1–a2+2a3)+(a2–3a3)x+a3x2,11312332321===+aaaaaa,143321===aaa解得:所以1+x+x2在给定基下的坐标为:(3,4,1)T.1+x+x2=3+4(x–1)+(x–2)(x–1).即证二:已知1,x,x2是P[x]2的一组基,而1,(x–1),(x–2)(x–1)P[x]2,所以,1,(x–1),(x–2)(x–1)由1,x,x2线性表示;又由于++=+==)1)(2(1)1(311)1(1111112xxxxxx即1,x,x2可以由1,(x–1),(x–2)(x–1)线性表示,所以两个向量组等价.故它们有相同的秩,而1,x,x2线性无关,因此,1,(x–1),(x–2)(x–1)也线性无关.从而1,x–1,(x–2)(x–1)是P[x]2的一组基.(1)又由(1)式得,由基1,(x–1),(x–2)(x–1)到1,x,x2的过渡矩阵为:,100310111=P即显然,1+x+x2在给定基1,x,x2下的坐标为:(1,1,1)T.则1+x+x2在基1,(x–1