控制系统状态空间模型详细讲解4

2019/10/171现代控制理论第一章（1）主讲教师：介婧自动化教研室2019/10/172疑问？现代控制理论，那有没有其它的控制理论分支呢？更早的控制理论是什么？现代控制理论和自动控制理论都是关于“控制”的理论，两者有何联系和区别？为什么要研究现代控制理论（研究价值）？2019/10/173第0章绪论控制科学的重要性控制理论的产生与发展现代控制理论的研究内容现代控制理论与经典控制理论的差异现代控制理论的应用与挑战2019/10/174现代控制理论与经典控制理论的对比（1）经典（频域法）现代（时域法）理论基础以常微分方程稳定性理论和Fourier变换为基础的根轨迹和奈奎斯特判据理论常微分方程稳定性理论；状态空间分析；泛函分析、微分几何等现代数学工具数学模型传递函数（研究系统外部特性，不完全描述）状态空间表达式（深入系统内部，是内部描述，完全描述）适用对象仅适用于单输入单输出系统（SISO），线性、定常系统可推广至：多输入多输出系统，非线性、时变系统2019/10/1751、状态变量和状态变量模型状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式状态结构图2、状态空间表达式的建立动态系统模型、微分方程、传递函数、状态结构图3、传递函数矩阵的建立4、状态空间表达式的四种标准型及转换第一章连续控制系统状态空间描述2019/10/1761.1状态空间模型的基本概念两类系统：例：比例放大器例：带有储能元件的电路输入代数方程输出输入初始状态微分方程输出动态系统或动力学系统()()ditLutdt001()()ttitudIL220200()()()()()()1()()()()2dytdvtmammftdtdtftvttvtmftytytvtttm2019/10/177动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。[基本概念]：状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在tto时的全部输入信息。状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小变量组。完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。2019/10/178状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻，状态向量是状态空间的一个点。)(),...,(),(21txtxtxnt)(tX状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX)()(0ttXX状态向量：把这几个状态变量看成是向量的分量，则称为状态向量。记作：)(),...,(),(21txtxtxn)(tX)(tX)()(1txtxnX(t)或：)]()...,(),([)(21txtxtxtnTX分量之间的关系？2019/10/179状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：1212(,,,;,,,),1,2,...,iinmxfxxxuuuin输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：1212(,,,;,,,),1,2,...,jjnmyxxxuuujp是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。ifj2019/10/1710状态空间模型表达式状态变量（x1,x2,…,xn）u1u2ury1y2ymFig.1MIMO系统几种典型系统的动态方程fnp注：()和（）分别是维和维的向量函数()((),(),)()((),(),)tfttttttt状态方程：状态空间模型表达式输出方程：xxuyxu动态方程2019/10/1711线性时变系统的状态空间表达式()()()()()()()()()()tAttBtttCttDttxxuyxu((),(),(),())AtBtCtDt可记为状态向量维1,21nTnxxxxT12,1ruuuur维输入向量其中：T121,myyyym维输出向量2019/10/1712,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA,nn维表征各状态变量系统矩阵间的关系,212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB,nr维输入矩阵表征输入对每个变量的作用()()()()()tAttBttxxu2019/10/1713,212222111211mnmmnncccccccccCmn维表征输出和每个状态变输出矩阵量的关系,212222111211mrmmrrdddddddddD,D0mr维又称为表征输入对输出前馈矩阵直接的关系直接通递转阵传常移＝矩()()()()()tCttDttyxu2019/10/171411111221111122122112222211222211221122nnrrnnrrmmmmnnmmmrrycxcxcxdududuycxcxcxdududuycxcxcxbududu输出方程的通式为：rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111状态方程的通式为：((),(),(),())AtBtCtDt可简记为2019/10/1715线性时不变(定常)系统的状态空间表达式SISO线性定常系统的状态空间表达式()()()()()()tAtBttCtDtxxuyxu()()tABtCxxuyx可简记为：()()tAbtcxxuyxb为nX1维，c为1Xn维2019/10/1716为描述系统方便，经常用代表一个动力学系统。状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。主要研究线性时不变系统的分析和综合问题：线性系统是实际非线性对象的线性化近似；线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决提供思路。),,,(DCBA2019/10/1717[系统动态方程的模拟结构图]：BCADUXXY常用符号：积分器ik比例器加法器模拟结构图：DUCXYBUAXXSISOSystemMIMOSystem2019/10/17181.2状态空间表达式的建立1、由系统物理模型建立动态方程(详见课本1.1.3节内容)2、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程（系统的实现问题，详见1.3.2节内容）4、由结构图建立动态方程2019/10/1719一、从系统物理模型建立动态方程核心问题——合理选择系统的状态变量通常有三种规则：选择系统中储能元件的输出物理量选择系统的输出及其各阶导数选择能使状态方程成为某种标准形式的变量注意事项：同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同；两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。2019/10/1720例1：求图示RLC回路的状态空间表达式分析如下系统：方法：1、根据物理定律建立系统的物理模型。2选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型转化为状态方程和输出方程。2019/10/17212）根据基尔霍夫定律，列写2个回路的方程：整理得：111111211222211211212cdiRRdtLLLdiRRRcdtLLLdudtCiiuiiui1211212211222()()0cdicdtdicdtdudtLiiRuLiiRiRuCi2019/10/1722112231111111112222223312301100100001cxixixuRRLLLxxRRRxxuLLLxxCxyxx令、、，则系统的为：状态方程输出方程为：ABC此为SISO系统，状态变量与系统的储能元件个数相同2019/10/1723[例2]试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的动态方程。21,MM21,yy机械阻尼运动模型隔离受力分析2019/10/1724则据牛顿第二定律有：221121122222()()MykyyByyByky11112112()()MyfByykyy选状态变量1122311422,,,,xyxyxyvxyvuf代入上式并整理得：2211xyxy输出方程：1324111231234111111121124123422221xxxxkkBBxxxxxuMMMMMkkkBBBxxxxxMMMM状态方程：2019/10/1725写成矩阵形式：1111111111121122222001000001010kkBBXXuMMMMMkkkBBBMMMM432100100001xxxxyABCSIMO系统，四个储能元件四个状态变量问题：上述描述是否是唯一的？2019/10/1726二、由微分方程写动态方程线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：解决问题:选取适当的状态变量,并由确定相应的系数矩阵A、B、C、D.),,1,0(),1(njbniajiDuCxyBuAxx两类问题：1、微分方程中不包含输入函数的导数项2、微分方程中包含输入函数的导数项如何转换？2019/10/1727[例]设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342[解]：若选，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx321,,243100010A001C500B532x1uy1x3x423x模拟结构图2019/10/1728微分方程形式:推广一般（微分方程中不包含输入函数的导数项）buyayayaynnn01)1(1)(1.）选择状态变量.若给定初始条件则系统行为被完全确定故选择为系统的一组状态变量——输出及其各阶导数)1(,,,,nyyyy)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的输入及)1(21nnyxyxyx令:2.）将上两边对t求导，化为状态变量的一阶微分方程组.nxxx,,,212019/10/1729ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnn12110)1(13221系统矩阵A特点：友矩阵主对角线上方的第1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，。3.）化为向量矩阵形式：状态方程为:输出方程为:ubxxxaaaxxxnnn00100102111021