1.3-条件概率解析

一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结第三节条件概率将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析{,,,}.HHHTTHTT.2142)(BP事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为),(ABP31)(ABP则).(BP4341)()(APABP.,为反面为正面设TH1.引例一、条件概率},,{},,,{TTHHBTHHTHHA)()()(BPABPBAP同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率..)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设BAAPABPABPAPBA2.定义);()()()()3(212121BAAPBAPBAPBAAP).(1)()4(BAPBAP(2):()1,()0;PBPB规范性则有件是两两不相容的事设可列可加性,,,:)5(21BB.)(11iiiiABPABP3.性质;0)(:)1(ABP非负性例1一个家庭中有两个小孩，已知其中至少有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？解：由题意，样本空间为,,,,男,男男,女女,男女,女AB表示事件“其中有一个是女孩”,表示“两个都是女孩”AB则有男,女，女,男，女,女，＝女,女31,44PAPAB所以，＝141343PABPBAPA例2人寿保险公司常常需要知道存活到某一年龄的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人有出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解：5051ABBAABB记＝活到岁，＝活到岁，显然，因此0.907180.90135PAPABPB因为＝，＝＝0.901350.993570.90718PABPBAPA所以，＝＝).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn则有且,0)(121nAAAP,2,,,,21nnAAAn个事件为设推广则有且为事件设,0)(,,,ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP).()()(,0)(APABPABPAP则有设二、乘法公式例1一袋中有a个白球和b个红球，现依次不放回的从袋中取两球，试求两次均取到白球的概率。解：记121,2iAiiPAA第次取到白球，，要求121121211=,11==1aaPAPAAababaaPAAPAPAAabab显然所以例2已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品，为慎重起见，某采购员对产品进行不放回的抽样检查。如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品，求采购员拒绝购买这批产品的概率。解：设1,2,3,4,5iAiiA被抽查的第件产品是废品，采购员拒绝购买则51=iiAA12345121312412351234=959493===10099989292==9797AAAAAAPAPAAPAAAPAAAAPAAAAA因为，由题意，，，，12345512344123312211==95949392910.769610099989796PAPAAAAAPAAAAAPAAAAPAAAPAAPA由乘法定理得例3在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求(1)第一次取到奇数卡片的概率;(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片的概率;(3)第二次才取到奇数卡片的概率.解设A,B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,则P(A)=353(2)()4PBA3(2)()10PAB例4某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有,8.0)(AP因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP),()(BPABP.218.04.0)()()(APABPABP所以解例5五个阄,其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解.5,4,3,2,1i则有,52)(1AP22()()PAPA))((112AAAP抓阄是否与次序有关?,人抓到有字阄”的事件表示“第设iAi333121212()()(())PAPAPAAAAAAA)()()(321321321AAAPAAAPAAAP42534152,52)()()()(121121AAPAPAAPAP)(2121AAAAP)()(2121AAPAAP)()()(213121AAAPAAPAP)()()(213121AAAPAAPAP)()()(213121AAAPAAPAP324253314253314352,52依此类推.52)()(54APAP故抓阄与次序无关.例6一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.波里亚罐子模型b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出当c0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例7设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.,321AAAB因为,)3,2,1(次落下打破透镜第表示事件以iiAi321AAAPBP213121||AAAPAAPAP10911071211.2003所以三、全概率公式与贝叶斯公式引例某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。连个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3（1）在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机地取一件成品，已知取到的是次品，问此次品分别是由第一、二车间生产的概率为多少？解（1）记1,2iABii从仓库中随机取出的一件成品是次品，取出的一件是第车间生产的1212121212,,BBBBAAABBABABABAB因为从而　12121122230.150.120.13255PAPABABPABPABPABPBPABPB所以此问题为已知所有可能“原因”发生的概率，求“结果发生的概率”——全概率问题121212,,,,,(i),,,1,2,,;(ii).,,,.nijnnEBBBEBBijijnBBBBBB定义设为试验的样本空间为的一组事件若则称为样本空间的一个划分1.样本空间的划分1B2B3B1nBnB2.全概率公式全概率公式121122,,,,,,()0(1,2,,),()()()()()()()ninnEAEBBBPBinPAPABPBPABPBPABPB定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分且则说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.A1B2B3B1nBnB例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,.3,2,1,”“iiBi厂的产品任取一件为为事件123,BBB解.3,2,1,,jiBBji由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP.013.02.001.05.001.03.002.0,01.0)(,01.0)(,02.0)(321BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP故引例中的问题（2）引例某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3（1）在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机地取一件成品，已知取到的是次品，问此次品分别是由第一、二车间生产的概率为多少？解（2）记1,2iABii从仓库中随机取出的一件成品是次品，取出的一件是第车间生产的问题（2）归结为计算12PBAPBA和由条件概率的计算公式1111222220.1550.45450.13230.1250.54550.132PABPBPABPBAPAPAPABPBPABPBAPAPA已知事件已经发生，再来研究事件发生的各种原因的可能性大小——逆概率问题称此为贝叶斯公式.121.,,,,,()0,()0,(1,2,,),()()(),1,2,,.()()niiiinjjjEAEBBBPAPBinPABPBPBAinPABPB定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分且则3.贝叶斯（Bayes）公式说明与全概率公式相反，贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时，求导致该事件发生的各种原因、情况或途经的可能性大小。;,)1(.,05.080.015.003.001.002.0321:.概率求它是次品的元件在仓库中随机地取一只无区别的标志且仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在提供元件的份额次品率元件制造厂的数据根据以往的记录有以下件制造厂提供的的元件是由三家元某电子设备制造厂所用例2..,,,)2(试求这些概率是多少家工厂生产的概率分别需求出此次品由三为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只解,“取到的是一只次品”表示设A.家工厂提供的”“所取到的产品是由第表示i)3,2,1(iBi123,,,BBB则是样本空间的一个划分,05.0)(,80.0)(,15.0)(321BPBPBP且.03.0)(,01.0)(,02.0)(321BAPBAPBAP(1)由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP.