1-5条件概率.

主要内容（2学时）一、条件概率（重点）；二、乘法公式（重点）；三、全概率公式及贝叶斯公式（重点）。第三节条件概率（重点）1、举例说明一、条件概率（重点）例1(类似P14—例1)掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}。求:(1)P(A)；（2）在事件B已发生条件下A发生的概率。解:S={1,2,3,4,5,6}A={2}B={2,4,6}掷骰子16(1)古典概型P(A)=(2)事件B发生,意味着B={1,3,5}不会发生.(B)B此时所有可能结果就是发生下的新=S样本空间BB中共有3个元素,且等可能性.其只有2A(即A中B={2})(1)3BBN(A|B)P(A|B)=N(S因此,发生条件下A的概率)注意到：)()(636131BPABPP(A|B):随机试验E的样本空间S为古典概型.假设S包含的基本样本点总数为n,事件A包含基本样本数为m(m0),AB包含的基本样本点数为k(km).求P(B例1推.广|A)mk显然,P(A)=P(AB)=nnAA,AA,S=A发生则不发生.因此发生条件下AN(S)m,)N(AB)kN(B|A)kN(AB))mN(A)AN(B|AP(B|A)=N(SkP(AB)nmP(A)nSABAB2、条件概率的定义AP(AB)P(B|设A,B为样本空间S中两个A)=P(A)事件,并且P(A)0.则称为事件发生条件下事件B发生的概率.说明：(1)前提P(A)0,否则P(B|A)=0(3)一般情况下,P(B)P(B|A),两者含义,发生的条件都不相同.由S缩小(2)至A求P(B|A)时,样本空间,在A中确定B发生的可能性.(4)如果AB,则P(B|A)=1.如果AB=,则P(B|A)=0.设A是样本空间S的随机事件，且P(A)0，则（1）非负性：对任一事件A，0≤P(B|A)≤1;（2）规范性：P(S|A)=1；3、条件概率的主要性质121212(3),,...,,...(),(......|)(|)(|)...(|)...nijnnAAAAAPAAABPABPABPAB可列可加性:若事件两两互斥即则(|)1(4)(|),PBAPABSB任意事件(5),,(|)(|)(|)(|)BCPBCAPBAPCAPBCA对任意事件(6),,(|)(|)(|)BCPBCAPBAPBCA对任意事件例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(APBPAS2)=A在缩小的样本空间中计算P(B).1)用定义计算:(P(A)0P(AB)P(B|A)=P(A)当时)4、条件概率的计算例3（P16—例2）试验E为掷两颗均匀骰子,观察出现的点数,以B表示事件”两颗骰子的点数相等”,以A表示事件”两颗骰子的点数的点数之和为4”,求P(A|B),解1:样本空间S={(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6)})()()|(BPABPBAP定义计算：1361636616BN(A|B)P(A|B)N(S)解2:在缩小的样本空间中计算：P(A|B)B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}A={(1,3),(2,2),(3,1)}P(AB)P(A|B)P(B)2361303615213015BN(A|B)P(A|B)N(S)由条件概率定义知：1、若P(A)0,则P(AB)=P(A)*P(B|A)2、若P(B)0,则P(AB)=P(B)*P(A|B)二、乘法公式（重点）(P(A)0P(AB)P(B|A)=P(A)当时)3、若P(AB)0，则P(ABC)=P(A)*P(B|A)*P(C|AB)4、当P(A1A2…An-1)0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)例45个球迷只有一张比赛入场券，只好抽签决定谁去。用5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”。将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。后抽比先抽的确实吃亏吗？解：Ai表示“第i个人抽到入场券”(i＝1,2,3,4,5)。ii则A表示第个人未抽到入场券141155(),()PAPA显然221121()()()(|)PAPAAPAPAA1214(|)PAA411545)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP34115435结论：抽签不必争先恐后.t只白球,r只红球例5（波里亚罐子模型,P17—例3类似）设罐子里装有r只红球，t只白球。随机地抽取一球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所抽出的球同色的球。若在罐子中连续取球四次。试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解:设Ai={第i次取出是红球},i=1,2,3,41i=1,2,3,4Ai则={第个次取到白球},1234AAAA所求概率为:P()1213124123|)|)|)AAAAAAAAAA=P()P(P(P(23rrattartrtartarta三、全概率公式和贝叶斯公式（重点）1、样本空间的划分...S12nS为试验E的样本空间,事件B,B,,Bi(1)...i,j=1,2,..n:.,...12nj12nB,B,,B两两互斥(即BB=,ij,)(2)BB如B果=S...()S12n则称B,B,,B为样本空间的一个划分完备事件组SABAB（举例：掷骰子，S={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={3,4,5},C={6}说明：(1)S,i=1,2,...,ni发生B()有且仅有一个发生.（2）S的划分不唯一，多种多样.(3)A,BS,AB,AB,AB,ABS.为的一个划分设试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn是样本空间的一个划分。且P(Bi)0，(i=1,2,…,n)，事件A为S中任一事件，则1()()().niiiPAPBPAB称为全概率公式｜2、全概率公式B1B2B3B4B5B6B7B8A说明：（2）关键是找到S的一个划分，并且相应的概率容易计算。（1）当A比较复杂，不好计算P(A)时经常使用.（证明见下页）1()()niiiPBPAB｜...12n证明:BBB=S...12nAS=A(BBAB=)...12n=ABABAB,,...,12nijABABAB间两两互斥,即ABAB=...12nP(A)=P(ABABAB))()...()PP12n=P(ABABAB)0,(i=1,2,),).)..niiiiP(ABP(BP(A|由B于P(B):P(A)=P(B)最简形式如果0PP(A|B)+P((BB)1,)P(则A|B)例6（类似P18—例4）A盒有2蓝3黑笔，B盒也有2蓝3黑笔。现从A盒中任取2支笔放入B盒。然后再从B盒中任取2笔，求最后取出的2支笔都是黑笔的概率。解：记Ai={从A盒取出放入B盒的黑笔数}，i=0,1,2;B={从B盒最后取出的2支笔都是黑笔}001122P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)136631023***1021102110217022025C1P(A)C101123125CC6P(A)C1023225C3P(A)C1023027C3P(B|A)C2124127C6P(B|A)C2125227C10P(B|A)C21例7(类似P18—例4）三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱有2红3白球，3号箱有3红球.从三箱中任取一箱，再从中任意摸一球，求：(1)取得红球的概率.解：记Ai={球取自i号箱}，i=1,2,3;B={取得红球}则B=A1BUA2BUA3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)131112233=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)111218***13535315问题：已知取出红球条件下，该球取自1号箱的概率？本质：在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的各个原因Bi的概率.3、贝叶斯公式实际中经常遇到另一类问题：“已知结果求原因”。即已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.设A为样本空间S的事件，B1,B2,…,Bn是S的一个划分。且P(A)0，P(Bi)0(i=1,2,…,n)，则1(i=1,2()()(|)(),...,()n).iiinjjjPBPABPBAPBPAB为贝叶｜斯公式｜njjj1P(A)P(B)P(AB)证明:由全概率公式,｜iiP(BA)P(BA)P(A)条件概率｜1()()()()｜｜iinjjjPBPABPBPAB说明：12n(1)B,B,...,BA,A.事件为事件发生的原因为试验的结果ii(2)()P(B):P(BA):()ii反映了各种原因B发生的可能性大小,试验前确定即已知结果A发生时,导致A发生的原因先验概率｜后率B概的概率验(3)AA.i贝叶斯公式主要用于由结果推断导致发生的各原因B的可能性大小(4)统计推断中大量使用,如产品检验,病因诊断,犯罪原因分析等.最简形式:P(B)P(A|B)P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)续例7(类似P18—例4）1号箱有1红球4白球，2号箱有2红3白球，3号箱有3红球。求：（2）从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.解:记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3；B={取得红球}根据题意，即求P(A1|B)。)()()|(11BPBAPBAP11*35815182315:P(A|B),P(A|B)48同理可得例8(类似P19—例5）某地区患癌症的人占0.005，癌症患者对一诊断试验反应是阳性的概率0.95，正常人对该试验反应是阳性的概率为0.05。现抽查一人，反应是阳性。问此人患癌症概率有多大?解：设C={被抽查者患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C|A).C{}则被抽查者没有患癌症,P(C)=0.005,P(C)=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.05根据题意由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP0.005*0.95=0.0870.005*0.95+0.995*0.05如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率P(C)=0.005若试验结果为阳性，则此人患癌症的概率为P(C｜A)=0.0871.试验对诊断一人是否患有癌症的意义？试验结果的启示：概率提高17.4倍，表明试验对诊断一人是否为癌症患者有意义2.检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性，此人患癌症的概率为P(C｜A)=0.087即使检出阳性，仍不能过早下结论有癌症，这种可能性只有8.7%(即1000个人中大约只有87人确患癌症)。本节重点总结1、条件概率的计算。2、乘法原理的计算。3、全概率公式、贝叶斯公式的计算。备选１透镜第一个落下打破的概率为0.5。若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为0.7。若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为0.9。试求透镜落下三次未打破的概率。i解:记A={透镜第i次落下打破}(i=1,2,3),B={落下三次未打破}123B=:AAA方法一:根据已知可得123121312P(B)=P()()P(|)P(|)AAAPAAAAAA121312()0.5,P(|)0.7,P(|)0.9PAAAAAA0.5(10.7)(10.9)0.015B方法二:={透镜落下