函数的奇偶性-PPT精品课件

在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxO)0(1)(xxxfx0-x0fx=x3fx=x-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4例如：函数f(x)=x2，如下：f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x)例如：对于函数f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)函数奇偶性的定义:偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.理解定义的图像如图所示]4,2[,)(2xxxfyox4-2为偶函数吗？能说]4,2[,)(2xxxf函数具有奇偶性的前提是什么？函数的定义域关于原点对称对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x)具有奇偶性。在线测试1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？（1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2)()（2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（）（3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（）2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（）A、-3B、3C、0D、无法确定3、下列四个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定过原点；偶函数的图像关于y轴对称；奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)）表述正确的个数是A、1B、2C、3D、44、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等于（）A、-3B、3C、0D、无法确定5、已知函数f(x)=x3，-5≤x5，则下列结论正确的是（）（A）函数f(x)是奇函数（B）函数f(x)的图像关于原点中心对称（C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x)（D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域（1）图像法（2）定义法例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.2()2fxxyxyx2()2fxxx－yx()21fxxyx()2fxxy,1x典例详解xoy(a,f(a))(-a,f(-a))-aa奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.xoy-aa(a,f(a))(-a,f(-a))偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.oyx例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)是偶函数，且知道x≥0是的图像，请作出另一半图象。yx例3.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数解:定义域为R∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.11)()4(1)()3(2xxfxxxf为奇函数即解：定义域是xfxfxfxxxxxfoxx)1(1)(为偶函数即）（解：定义域是xfxfxfxxxfR1111)(22用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。给出函数判断定义域是否对称结论是f(-x)与f(x)否练习:说出下列函数的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________②f(x)=x-1__________奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数对于形如f(x)=xn()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。Zn思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。(1)f(x)=(2)f(x)=x2x∈[-4,4)解:∵定义域不关于原点对称或∵f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.∴f(x)为非奇非偶函数x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数根据奇偶性,函数可划分为四类:1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，①若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。2图象性质:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3判断奇偶性方法：图象法，定义法。4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提