全等三角形与旋转问题

-1-第五讲全等三角形与旋转问题基本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点知识点睛中考要求-2-【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．【解析】A【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到GFEDCBA【解析】D【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。A．1对B．2对C．3对D．4对KGFEDCBA【解析】C【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．MDNECBFA【解析】∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC例题精讲-3-于M，N点．求证：CMCN．NMEDCBA【解析】∵ABC与DCE都是等边三角形∴BCAC，CDCE及60ACBDCE∵B，C，E三点共线∴180BCDDCE，180BCAACE∴120BCDACE在BCD与ACE中BCACBCDACEDCEC∴BCDACE≌，∴CANCBM∵120BCDACE，60BCMNCE∴60ACD在BCM与ACN中60BCACBCMACNCBMCAN∴BCMACN≌，∴CMCN．【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：CF平分AFB．MDNECBFAGMHDNECBFA【解析】过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACNMCB≌，利用AAS进而再证BCHNCD≌，可得到CGCH，故CF平分AFB．【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．请你证明：⑴ANBM；⑵DEAB∥；⑶CF平分AFB．MDNECBFA【解析】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…-4-推到而得的：AFCBFC；ANBM，CDCE，ADME，NDBE；AMCN∥，CMBN∥；DEAB∥ACNMCB≌，ADCMCE≌，NDCBEC≌；DEC为等边三角形．⑴∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM⑵由ACNMCB≌易推得NDCBEC≌，所以CDCE，又60MCN，进而可得DEC为等边三角形．易得DEAB∥．⑶过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACNMCB≌，利用AAS进而再证BCHNCD≌，可得AFCBFC，故CF平分AFB．【例6】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG．GFEDCBA【解析】∵ADCEDG∴CDGADE在CDG和ADE中CDADCDGADEDGDE∴CDGADE≌∴AECG【例7】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE是等边三角形．MDNECBA【解析】∵ACNMCB≌，∴ANBM，ABMANC又∵D、E分别是AN、BM的中点，∴BCENCD≌，∴CECD，BCENCD∴60DCENCDNCEBCENCENCB∴CDE是等边三角形【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(120ACE°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是_____________。-5-PMBCDEAA．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【解析】易得ACDBCE≌．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，60PCM°，故CPM是等边三角形，选C．【例8】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．DECBA【解析】∵ABC是等边三角形，∴60ACB，ACBC．∴60BCDDCA，同理60ACEDCA，DCEC．∴BCDACE在BCD与ACE中，BCACBCDACEDCEC∴BCDACE≌，∴BDAE．【例9】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDCBAABCDP【解析】连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACDBCD≌(SSS)，得1302BCDACDACB，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知BDPBDC≌(SAS)，∴30BPDBCD．故BPD的度数是定值．【例10】(2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，90B∠，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．OBECFA4321OBECFA-6-【解析】连结OB由上可知，1290∠，2390∠，13，而445C∠，OBOC．∴OBEOCF≌，∴BEFC，∴BEBFCFBFBCa．【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．54321OHBEDKGCFA【解析】正方形ABCD中，1245∠，OAOB而3490∠，4590∠∴35∠∠，∴AOEBOF≌∴AEBF，∴AEFCBFFCBCAB【例11】(2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF．求证：DEBF．FEDCBA【解析】证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，90BADADEABF．因为EAAF，所以90BAFBAEBAEDAE，所以BAFDAE，故RtABF≌RtADE，故DEBF．【补充】如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长_____________。PDCBAABCDEP【解析】如图，过点D作DEDP，延长BC交DE于点E，容易证得ADPCDE≌(实际上就是把ADP逆时针旋转90，得到正方形DPBE)∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴4DP．【例12】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．-7-CHFEDBACHFEGDBA【解析】延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证ABGADF△≌△，BAGDAF∠∠，AGAF．再证AEGAEF△≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．【例13】(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是_____________。A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而变化MNCBAMDNCBA【解析】如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN∠∠，∴MCDACMACD∠∠∠ACMBCN∠904545MCN．∴MDCMNC≌，∴MDMNx又易得454590DAM，∴在RtAMD中，有222mnx，故应选(B)【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．⑴求证：AFDFBE．⑵设DFx(01x≤≤)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．FEDCBAGABCDEF【解析】⑴证明：如图，延长CB至点G，使得BGDF，连结AG．因为ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，ADAB，90ADFABG°，DFBG．∴RtRt(SAS)ADFABG≌，∴AFAG，DAFBAG．又∵AE是BAF的平分线．∴EAFBAE，∴DAFEAFBAGBAE．即EADGAE．∵ADBC∥，∴GEAEAD，∴GEAGAE，∴AGGE．即AGBGBE．∴AFBGBE，得证．-8-⑵ADFABESSS1122DFADBEAB．∵1ADAB，∴12SDFBE由⑴知，AFDFBE，所以12SAF．在RtADF中，1AD，DFx，∴21AFx，∴2112Sx．由上式可知，当2x达到最大值时，S最大．而01x≤≤，所以，当1x时，S最大值为2111222x．【例14】(通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2ABCDE【解析】⑴222DEBDEC证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE∴AECABE≌∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB在RtABC中∵A