弹性力学试卷2009(答案)

1华中科技大学土木工程与力学学院《弹性力学》考试卷（半开卷）2008～2009学年度第二学期成绩学号专业班级姓名一、判断题（正确的打√，错误的打×）（12分）1.平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和应变协调方程既适用于各向同性体，又适用于各向异性体。(√)2.若物体内一点的位移u,v,w均为零，则该点必有应变εx＝εy＝εz＝0。(×)3.在弹性体中，如果位移以速度c进行传播，则应力、应变以及质点速度都以同样的速度c传播。(√)4.εx＝K(x2+y2)z，εy＝Ky2z，εz＝0，γxy＝2Kxyz，γyz＝0，γzx＝0。K是不为零的已知常数，这一组应变分量不可能存在。(√)5.两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触，其接触面为椭圆形。(×)6.各向同性弹性体有3个独立的弹性常数，它们是E（弹性模量），ν（泊松比），G（剪切弹性模量）。(×)每题②分二、填空题（9分）1.在等截面直杆扭转问题的应力解法中，如引入Prandtl（普朗特）扭转应力函数F(x,y)求解，可导出以下公式，试分别指出其物理意义：xzyzFFG,Gyxtata¶¶==-¶¶是（内部静力平衡）；2FCÑ=（C为常数）是（应变协调）；zRM2GFdxdya=òò（R为单连域）是（端面上静力平衡）；sF0=（s为R的边界线）是（周界上静力平衡）。一二三四五六七八分数12919151515151522.在位移变分解法中，李兹法要求位移试验函数满足(位移边界)条件，而迦辽金法还要求满足(静力边界)条件。3.平面波分为纵波和横波，在地震时，地震波中的（纵波）总是比（横波）先到。瑞利（Rayleigh）表面波的速度比横波的速度（小）。每空①分三.简答题1.曲梁（F作用在上端部abr2+=处，a,bb-a）的受力情况如图1所示，写出应力边界条件（固定端除外）。（7分）解答：()()()()rrarararrbrbrb0q0qqqstst======-==-④()()()ba0bra0ba0drFsindrFcosabrdrFsinM2qqqqqqsatasa=====-+=-òòò③ijijd0jss¶==¶OOqqxxbbaaaa··rFM图1qbqayy32.简述弹性动力学问题的提法。(12分)弹性动力学问题的提法：（（11））求求ssiijjeeiijjuuii1155个个未未知知量量，，使使满满足足1155个个基基本本方方程程：：②运动方程：2yxzxx22xyyzy22yzxzz2uXxyztvYxyztwZxyztttsrtstrttsr¶¶¶¶+++=¶¶¶¶¶¶¶¶+++=¶¶¶¶¶¶¶¶+++=¶¶¶¶②几何方程：xyzyzzxxyuvw,,xyzwvyzuwzxvuxyeeeggg¶¶¶===¶¶¶¶¶=+¶¶¶¶=+¶¶¶¶=+¶¶②本构方程：xxyyzzxyxyyzyzzxzx2G2G2GGGGslqeslqeslqetgtgtg=+=+=+===②（2）还需满足边界条件：uu,vv,ww===，xyxzxxyyzyxzyzzlmnXlmnYlmnZstttsttts++=++=++=②及初始条件：()()()()()()()()()11t0t022t0t033t0t0uufx,y,zx,y,ztvvfx,y,zx,y,ztwwfx,y,zx,y,ztjjj======¶æö==ç÷¶èø¶æö==ç÷¶èø¶æö==ç÷¶èø②4四～八题中任选4题。四、等厚双连薄壁杆，其右侧竖壁开一水平槽(见图2)，当承受扭矩M时，试求该轴最大剪应力及总的抗扭刚度。（15分）解：（1）将扭杆分为两部分：左侧是边长为a的闭口正方形扭杆，右侧是三个边长为a、宽度为d的狭长矩形构成的开口扭杆。①闭口扭杆②开口扭杆：②（2）∵④（3）因为ad③（4）总抗扭刚度为。③图2aaad111111122411MMMSM4a2A2a4GA4Gatadddd====22222232333MM3MM3aa3GaGadtadddd====22122222aMM,MMaadddÞ==++1212MMMaaa+===()()122222M2aMaatddtd=+=+()max122M2attddÞ==+()22MGaaadd=+()22MGaaddaÞ=+()22MGaadda=+5五、如图3所示的楔形体的两侧面受均布法向压力q作用，试求出该楔形体的应力分量（不计体力，设应力函数为()2Urfq=）。（15分）解：（1）应力函数需满足双调和方程22U0ÑÑ=，即22222211U0rrrrqæö¶¶¶++=ç÷¶¶¶èø①亦即：()()22222114ff0rrrrqqqæö¶¶¶¢¢éù+++=ç÷ëû¶¶¶èø()()42242dfdf140rddqqqqéùÞ+=êúëû()fAcos2Bsin2CDqqqqÞ=+++()2UrAcos2Bsin2CDqqq\=+++③（2）应力分量：()()2r22222r21U1U2Acos2Bsin2CDrrrU2Acos2Bsin2CDr1U1U2Asin22Bcos2Crrrqqsqqqqsqqqtqqqq¶¶=+=--++¶¶¶==+++¶¶¶=-=--¶¶¶③（3）边界条件：()()rq0qqqaqast=±=±=-=②2Asin22Bcos2C02Asin22Bcos2C0aaaa--=---=A0Þ=()()2Bsin2CDq2Bsin2CDqaaaa++=---+=-qD2Þ=-C0,B0Þ==④∴应力分量为：rrqq0qqsst=-=-=②xyOqqaa图36六、已知图4所示的悬臂梁，其跨度为l，抗弯刚度为EJ，在自由端受集中载荷P作用，试从下列函数中选择一个作为解题的位移函数，并由最小势能原理求最大挠度值。（15分）（1）23123waxax=+（2）21xwa1cos2lpæö=-ç÷èø（3）31xwa1sin2lpæö=-ç÷èø解：解法一：（1）选择函数23123waxax=+①，此函数满足固定端边界条件()x0x0dww0,0dx==æö==ç÷èø①由最小势能原理确定系数a2、a3。（2）应变能：()22ll2232001dwEJUEJdx2a6axdx2dx2æö==+ç÷èøòò()()l2222223223322330EJ4a24aax36axdxEJ2al6aal6al2=++=++ò③外力功：()()2323xlWPwPalal===+③总势能：()()2223231223323UWEJ2al6aal6alPalalP=-=++-+①（3）最小势能原理：()2222123232PlEJ4al6alPl02al3ala2EJP¶=+-=Þ+=¶①()22332123233PlEJ6al12alPl0al2ala6EJP¶=+-=Þ+=¶①zlOP图4x723PlPa,a2EJ6EJÞ==-②232PlPPlxwxxx32EJ6EJ6EJlæö\=-=-ç÷èø①最大挠度发生在自由端，其值为：3maxPlw3EJ=。①解法二：（1）选择函数21xwa1cos2lpæö=-ç÷èø，①此函数满足固定端边界条件()x0x0dww0,0dx==æö==ç÷èø①由最小势能原理确定系数a1。（2）应变能：242ll2212001dwEJxUEJdxacosdx2dx22l2lppæöæöæö==ç÷ç÷ç÷èøèøèøòò421EJla42lpæö=ç÷èø③外力功：()1xlWPwPa===③总势能：42111EJlUWaPa42lpPæö=-=-ç÷èø①（3）最小势能原理：4111EJlaP0a22lPp¶æö=-=ç÷¶èø②31432PlaEJpÞ=②3432Plxw1cosEJ2lppæö\=-ç÷èø①最大挠度发生在自由端，其值为：3max1432PlwaEJp==。①8七、图5所示矩形板，长度远大于高度，体力不计。试证函数232333qx4y3yqy2yyU14hh10hhæöæö=-+-+-ç÷ç÷èøèø（q为已知常数）是应力函数，并指出能解决什么问题（在图上表示）。（15分）解：(1)将函数U代入双调和方程：22U0ÑÑ=满足所以，可作为应力函数。①(2)应力分量为：23x333y32xy36qxy4qy3qyhh5hq4y3y12hhqx12y32hhsst=-+-æö=-+-ç÷èøæö=-ç÷èø③②(3)边界条件：上边界：()()hhyxyyy22q,0st=-=-=-=①下边界：()()hhyxyyy220,0st====①左边界：()()()hh2322hhx33xl22hh222hhxy3xl22hh23222hhx33xl226qly4qy3qydydy0hh5hql12y3dydyql2hh6qly4qy3qyqlydyydyhh5h2sts=---=---=---æö=-+-=ç÷èøæö=--=ç÷èøæö=-+-=-ç÷èøòòòòòò③右边界：()()()hh2322hhx33xl22hh222hhxy3xl22hh23222hhx33xl226qly4qy3qydydy0hh5hql12y3dydyql2hh6qly4qy3qyqlydyydyhh5h2sts=--=--=--æö=-+-=ç÷èøæö=-=-ç÷èøæö=-+-=-ç÷èøòòòòòò③能解决的问题：悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁上边受均布载荷，两端受力矩作用。①ylO图5lxhql2/2ql2/222ÑÑ=qlqql9八、设，式中A、B、D是不全为零的常数。问在什么条件下该应变状态能成立？若不计体力，该应变状态能成立吗？（15分）解：（1）将应变分量带入协调方程：②经验证满足。（2）将应变分量带入本构方程：①求得应力分量：③（3）将应力分量带入平衡方程，求得体力分量：①③∴当体力如此分布时，题设应变分量所对应的应力分量能满足平衡方程，题设应变状态能成立。②（4）若不计体力，即X=Y=Z=0，由平衡方程要求:()23By1Ax0A0,B0nn-+=Þ==()()D12A10D0nn---=Þ=③∴若不计体力，且A、B、D不全为零，则不能满足平衡方程。题设应变状态不能成立。2222yxyyzxyzxxx222222yyzxyyzyzzx222222xyyzzzxzxzx222yxxyxxyzyz2zyyzyyzxzx2xzzxzzxyxyeggggeeegggeegggeggee¶¶¶¶æö¶¶¶¶+=-++=ç÷¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶èø¶¶¶¶¶æö¶¶¶+=-++=ç÷¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶èø¶¶æö¶¶¶¶¶¶+=-++=ç÷¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶èøxxxyxyyyyzyzzzzxzx2GG2GG2GGslqetgslqetgslqetg=+==+==+=()()()()()()()()()()xyxyxxyyxyyzxyzzx1EE121211E0121E0121nenegstnnnnenestnnneestnn-+==-++-+==-++==-+()()()()()()()2D12A1XEy1213By1AxYE121Z0nnnnnnnn---=-+-+Þ=--+=yxzxxxyyzyyzxzzX0xyzY0xyzZ0xyzttststtts¶¶¶+++=¶¶¶¶¶¶+++=¶¶¶¶¶¶+++=¶¶¶