弹性力学试卷2017上学期答案及评分标准

2016-2017第二学期弹性力学考试答案及评分标准一、概念问答题1、以应力作未知量，应满足什么方程及什么边界条件？答：以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。（5分）2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面问题有x、y、xy、x、y、xy、u、v八个，方程有两个平衡方程，三个几何方程，三个物理方程。（5分）3、已知200xPa，100yPa，50xyPa及100rPa，300Pa，100rPa，试分别在图中所示单元体画出应力状态图。（2分）（3分）4、简述圣维南原理。答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。（5分）5、简述应变协调方程的物理意义。答：⑴形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。（2分）⑵形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调→对应的位移存在→位移必然连续；形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。（3分）6、刚体位移相应于什么应变状态。答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为x=y=xy=0（5分）7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程？答：由位移变分方程可得0UXuYvZwdxdydzXuYvZwdS或0xyOrxy200xPa50xyPa100yPa300Pa100rPa100rPaUXuYvZwdxdydzXuYvZwdS其中为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和），0称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时，总势能的一阶变分为零。可以证明：在线弹性体中，20，即在所有几何可能的位移中，实际的位移使总势能取最小值。最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。（5分）二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系（5分）)()()(22210442210442210CyxxyCCyxyxBByxyxAAxyyx答：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即22222yxyxyxxy（2分）由题中给出的应变可得：2212212xAyy，2212212yBxx，222111233xyCxCyCCxy则由相容条件可得：222211111221221233AyBxCxCyCC上式对任意x，y均成立，则有：1111121221234222CCABCCAAC（3分）三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中s、q均为均匀分布荷载，AF为固定边界。（15分）解：AF边：u=0，v=0（2分）AB边：y=0，xy=0（2分）xss1m1.5m1.5m0.5m0.5mABCDOEFyq2.5mEF边：y=0，xy=0（2分）BC边：（4分）2sin2l，2cos2m222cos222222sin222xxyxyyssssxxyxyyssCD边：（2分）0xxyqDE边：（3分）2sin2l，2cos2m222cos222222sin222xxyxyyssssxxyxyyss四、对于图中所示结构，l远大于h，已知233322842MhyyyyqxhhhM是集中弯矩，q为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（15）解：（1）验证相容方程：40，这里显然满足。（1分）（2）应力分量：MxyqOl/2h/2h22321216xMyyqxyhhh220yx222134xyyyqxyhh（3分）（3）边界条件左侧2hy，0y成立11300424xy（2分）右侧：2hy，0y成立113424xyqqq成立（2分）顶部22322120,0,0hhhhxMyxdydyh，积分后为偶数，故为0（2分）220hhxydy223222213220442882hhhyyyyyhhqdyqqhhhhh，成立（2分）22hhxydyM23233212422hhhMyMydyMhhh，成立（3分）五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。（15分）解：应力数值轴对称—仅为的函数，应力方向轴对称—0ρφφρττ相应的应力函数ΦΦρ，应力分量：d,dρ1Φσρρ22d,dφΦσρ0.（a）（3分）(1)相容方程22dd()0dd21Φρρρ其中：22dddd()dddd211ρρρρρρρ4ddd{[()]}0,()dddd111ΦΦρρbρρρρρρ相容方程成为常微分方程，积分四次得Φ的通解，22lnln()ΦAρBρρCρDc。（3分）(2)应力通解：将式(c)代入式(a)，22(12ln)2,(32ln)2,()0ABCABCd（3分）(3)应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变ρφρφε,ε,γ也为轴对称。(4)求对应的位移：将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，,ρρuερd();ρρuερfφ,ρφφuu1ερρφ,φφρuρεuφ()d)φφρ1uρεuφf(ρ。将ρφu,u代入第三式，0,ρρρρφuuu1γρφφφ分开变量，两边均应等于同一常量F,ddd,dd11fρfφfρρfφφFρφ（3分）即得两个常微分方程，11d()(),dfρfρρFρ1();fρHρFd()()d,dfφfφφFφ22d()()0,dfφfφφ()cossinfφIφKφ得：。代入ρφu,u，得轴对称应力对应的位移通解，1[(1)2(1)(ln1)(13)2(1)cossin()4sincosAuBBECIKeBuHIKE，。（3分）其中I，K—为x、y向的刚体平移，H—为绕o点的刚体转动角度。六、一端固定、另一端弹性支撑的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，弹簧系数为k，承受分布荷载q(x)的作用（如图所示）。试用位移变分方程（或最小势能原理）导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件（15分）解：用位移变分方程推导(1)梁内总应变能的改变为22222220012lldvdvdvUEJdxEJdxdxdxdx（1分）(2)外力总虚功为00llAAxlqxvdxRvqxvdxkvv（1分）(3)由位移变分方程得222200llxldvdvEJdxqxvdxkvvdxdx(a)（1分）对上式左端运用分部积分得2222220023230023423400lllllldvdvdvdvEJdxEJddxdxdxdxdvdvdvdvEJEJdxdxdxdxdxdvdvdvdvEJvEJdxdxdxdxdx代入(a)式，经整理得2323423234000lxxldvdvdvdvdvdvdvEJvEJkvEJvEJqxvdxdxdxdxdxdxdxdx(b)（3分）由于变分v的任意性，式(b)成立的条件为440dvEJqxdx(c)232300xdvdvdvvdxdxdx(d)xylOkAqx23230xldvdvdvEJkvEJvdxdxdx(e)（3分）(4)式(c)就是以挠度v表示的平衡微分方程。下面讨论边界条件。由于梁的左端为固定端，因此有00xv，00xdvdx(f)（2分）梁的右端为弹性支撑，则有0xlv，0xldvdx(g)（2分）注意到式(d)能满足，而欲使式(e)成立，必须满足220xldvdx，330xldvkvEJdx(h)（2分）式(f)、(h)即为题意所求的边界条件。