22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法求三种形式的二次函数的解析式一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解x1，x2,所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c又可以写为y＝a(x－x1)(x－x2)，称为二次函数的交点式（或两根式），其中x1，x2为两交点的横坐标。它有3个待定系数a、x1、x2知识补充：二次函数的交点式已知三个点坐标或三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式二次函数常用的几种解析式一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。一、设二、代三、解四、还原例1已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：a=2,b=-3,c=5因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5待定系数法已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式一般式：练习1:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy724410cbacbacba5,3,2cba解得，5322xxy所求的二次函数是｛练习2：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），（1，-5），求函数解析式。解法一设所求二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.又抛物线过点（-1，0），（3，0），（1，-5），依题意得a–b+c=09a+3b+c=0a+b+c=-5解得45a25b415c∴所求的函数解析式为。41525452xxy解法二∵点（-1，0）和（3，0）是关于直线x=1对称，显然（1，-5）是抛物线的顶点坐标，故可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2-5,又抛物线过点（3,0），0=a(3-1)2-5,解得,∴即所求的函数解析式为。45a5)1(452xy41525452xxy练习2：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），（1，-5），求函数解析式。解法三经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶点坐标，依题意得：解得即所求的函数解析式为。a-b+c=012ab45a5442abac25b415c41525452xxy练习2：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），（1，-5），求函数解析式。已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式又过点（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k∵顶点是（1，2）∴y=a(x-1)2+2，∴y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3顶点式：khxay2)(练习：1、已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；已知条件中的当x=3时有最大值4也就是抛物线的顶点坐标为（3,4），所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)2+4也就y=-7x2+42x-59练习2、已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点的距离为4,求此二次函数的解析式.解：设函数关系式y=a(x-3)2-2∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3∴过点(5,0)或(1,0)把(1,0)代入得,4a=2a=21∴y=(x-3)2-221已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式（两根式）例3：已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3），求出对应的二次函数解析式。解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴y=a(x-1)(x-3),又过（0，-3），∴a(0-1)(0-3)=-3,∴a=-1∴y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3交点式：))((21xxxxay练习：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是。分析：因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，又B(5，0)关于直线x＝2的对称点坐标为（-1,0），所以可以设为交点式，类似例3求解，当然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5______年___月___日星期___天气____学习课题：知识归纳与整理：自我评价：我的收获与困惑：