数字信号处理6.4双线性变换法

IIR数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计模拟域频率变换脉冲响应不变法双线性变换法利用MATLAB设计IIRDF双线性变换法问题的提出双线性变换法的基本原理双线性变换法设计DF的步骤双线性变换法双线性变换法问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法p,sp,sH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换双线性变换法回顾内容脉冲响应不变法的优缺点缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。优点：1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性=T2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。双线性变换法双线性变换法的基本原理和的关系11112=zzTssTsTz=222arctan()2T=2tan()2T=双线性变换法双线性变换法的基本原理稳定性分析11112=zzTssTsTz=222222(2/)(2/)TzT=令s=+j，则有双线性变换法双线性变换法的基本原理稳定性分析1)0,|z|1S域左半平面映射到Z域单位圆内2222(2/)(2/)TzT=2)=0,|z|=13)0,|z|1S域虚轴映射到Z域单位圆上S域右半平面映射到Z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的优缺点缺点：频率转换非线性（幅度响应不是常数时会产生幅度失真）优点：无混叠双线性变换法双线性变换法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{k}转换为模拟滤波器的频率指标{k}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。2tan()2kkT=11112)()(==zzTssHzH双线性变换法双线性变换法设计DF的步骤p,sp,sH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量利用MATLAB2tan()2T=11112)()(==zzTssHzH例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(1)将DF的频率指标转换为AF的频率指标pp2tan()2T=(2)设计3dB截频为p的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,c=pc1()/1Hss=p1/1s=故112tan(/2)psT=例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见一般取T=21()12tan(/2)pHssT=1p1pptan(2)(1)()1tan(2)(tan(2)1)/zHz//z=11112=zzTs例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为1p1pptan(2)(1)()1tan(2)(tan(2)1)/zHz//z=双脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为pp11e()1eHzz=脉取p=0.6p，令z=ej，可分别获得两者的幅度响应例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。00.6100.71NormalizedfrequencyAmplitude脉冲响应不变法双线性变换法p=0.6p脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。3dB例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=0.6*pi;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;双线性变换法例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法和双线性变换法设计一DLF，满足p=0.2p,s=0.6p,p2dB,s15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标=/T.p=0.2p/T,s=0.6p/T,p2dB,s15dB(2)设计模拟低通滤波器（BW型）sp0.1100.110sp101log()1012log(/)N=2ssc0.11/2(101)N==0.8013/Ta21()()21ccHsss=6421.0)(1356.1)(6421.02=sTsT双线性变换法例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足p=0.2p,s=0.6p,p2dB,s15dB解：(3)将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器极点为s1=(0.5678+0.5654j)/T,s2=(0.56780.5654j)/T利用111isTiTssez可得DF的系统函数为1120.3448()10.95710.3212zTHzzz=a120.5678j0.5678j()Hsssss=例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足p=0.2p,s=0.6p,p2dB,s15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2p2dB,s15dB(2)设计模拟低通滤波器（BW型）ps0.1100.110sp101log()lg101lg2log(/)spspkN===2ssc0.11/2(101)N==0.5851a21()()21ccHsss=pp2tan()0.32492T==ss2tan()1.37642T==3423.08275.03423.02=ss解：(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器11112)()(==zzTssHzH21212373.06062.011578.03155.01578.0=zzzz例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足p=0.2p,s=0.6p,p2dB,s15dB例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足p=0.2p,s=0.6p,p2dB,s15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50NormalizedfrequencyGain,dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。双线性变换p=0.3945s=15.0000脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变p=1.1187s=12.3628双线性变换法非低通IIR数字滤波器的设计p,sp,sH(z)=/T脉冲响应不变法双线性变换法H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器ps,a()Gp复频率变换2tan()2T=注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器1111isTissez11112=zzTs方法一双线性变换法非低通IIR数字滤波器的设计方法二p,sH(z)=/T脉冲响应不变法双线性变换法数字频率变换设计原型低通滤波器ps,a()Gs2tan()2T=1111isTissez11112=zzTsps,a()HzZ域变换例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p1dB,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s10dB解:脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标2tan()2T=取T=2，利用得模拟带阻指标为p1=6rad,p2=13rad,s1=9rad,s2=11rad,p1dB,s10dB例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p1dB,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s10dB解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标s2s12B==9499.92s1s0==3714.0},max{202p2p2202p1p1p==BBAp1dB,As10dB1s=模拟带阻指标p1=6rad,p2=13rad,s1=9rad,s2=11rad,p1dB,s10dB例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p1dB,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s10dB解:(3)设计原型BW型模拟低通滤波器p1dB,s10dBps0.3714,1==原型模拟低通指标sp0.1100.110sp101log()10122log(/)N=ssc0.11/20.5774(101)N==原型模拟低通滤波器的系统函数为a21()()21ccGsss=20.33330.81650.3333ss=例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p1dB,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s10dB解:(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器a20.3333()0.81650.3333Gsss=220BSa()()BsssHsHs==9801485210899.4980119823424=ssssss(5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器11112)()(==zzTssHzH432143219067.06412.35601.58241.319522.07327.35624.57327.39522.0=zzzzzzzz双线性变换法利用MATLAB实现IIR数字滤波器确定数字滤波器的阶数及3dB截频Wc[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)其中Wp,Ws为归一化角频率。例p=0.1p,则Wp=0.1若为带通或带阻滤波器，则Wp=[Wp1,Wp2];Ws=[Ws1,Ws2]BW型数字滤波器双线性变换法利用MATLAB实现IIR数字滤波器BW型数字滤波器确定DF系统函数分子、分母多项式低通[num,den]=butter(N,Wc)高通[num,den]=butter(N,Wc,'high