6.3-双线性变换法

1设计思想设计方法频率预畸变典型例题§6.4设计IIR滤波器的双线性变换法21、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器。原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系脉冲响应不变法的映射过程图示一、设计思想3TT，2、双线性变换法的改进：为避免频率的“混叠效应”，分两步完成S平面到Z平面的映射。①将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域；②通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。双线性变换的映射过程图示43、双线性变换法的基本思路：从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应,进而求得H(z)。②通过Z变换：将Ω1映射到Z平面的单位圆上。①通过正切变换：将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的内。③将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面的映射关系：二、“双线性变换法”设计方法5④将S1平面按映射到Z平面得到：Tsez111112zzTssTsTz22或6三、双线性变换的频率对应关系双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：)2(2tgT可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。7四、频率预畸变为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟低通滤波器系统函数之前必须按式进行频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原型Ha(s)确定；最后求得数字系统函数：8典型例题例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器设计参数：通带数字截止频率，通带内最大衰减，阻带数字截止率，阻带内最小衰减。dBAp5.0dBAs1525.0p55.0s解：0.4142136tg0.125)2(2pptgT1.1708496tg0.275)2(2sstgTsp、①进行频率预畸变，求。②确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。2.66)lg()lg(spspkN∴取滤波器阶次N=3用脉冲响应不变法怎么设计？9③查表得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数。)1)(1(1)(2ssssHa④求3dB截止频率。c588148.0c反归一化得：)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)/()(2ssssHsHca10⑤用双线性变换式求得H(z)。1111)()(zzssHzH)3917468.06762858.01)(259328.01()1(0662272.021131zzzz滤波器的幅度响应与相位响应11§6.5设计IIR数字滤波器的频率变换法•频率变换的两种基本方法法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换，由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器。又称为“模拟域频率变换法”又称为“数字域频率变换法”12•模拟域频率变换法1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为，p为模拟域内的拉氏变量。在模拟域内从低通到高通变换：即以p-1代替p。反归一化。即以带入上式，得到反归一化后的高通滤波器的传输函数H(s)。2、13双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。3、14•典型例题例1：设计一个3阶巴特沃斯型数字高通滤波器，3dB数字截频为0.2π弧度，求该滤波器的系统函数。解：①3阶巴特沃斯型归一化模拟低通原型的系统函数为：caLaLsppHsH)()(函数：去归一化得到低通系统注意：这里是模拟低通的，应该是多少？1511112|)()()1()s(zzTssHzHsHHaHaLaH字高通：用双线性变换法得到数换关系得到模拟高通：由低通到高通的频率转16例2：设计一个巴特沃斯型数字高通滤波器，通带截止频率0.2π弧度，衰减3dB。阻带下边频＝0.05π弧度，阻带衰减As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。ps解：②确定低通滤波器的阶次Ncs(rad/s)0779.32pptgd/s)12.7062(ra2sstg①频率预畸变求模拟低通的截频和阻带下边频1700397.011011011.01.0spspk、162pssp、99.1lglg3spspkN、∴取N＝218④利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)11112)()(zzTpaLcpHzH③查表得N=2时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数14142.11)(2pppHaL11111111;1;zzpzzsspspccc最终：是低通还是高通的？19典型例题带通滤波器的幅度响应与相位响应