高中数学方法数形结合思想

§3数形结合思想方法解读1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则，要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应．(2)双方性原则，既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．4．应用数形结合的思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：①函数与函数图象．②不等式与函数图象．③曲线与方程．④参数本身的几何意义．⑤代数式的结构特点．⑥概念自身的几何意义．⑦可行域与目标函数最值．⑧向量的两重性．分类突破一、数形结合思想在方程不等式中的应用例1设关于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．解方法一(1)设x＝cosθ，y＝sinθ，则由题设知，直线l：3x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1有两个不同的交点A(cosα，sinα)和B(cosβ，sinβ)．所以原点O到直线l的距离小于半径1，即d＝0＋0＋a(3)2＋12＝|a|2＜1，∴－2＜a＜2.又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.∴直线l不过点(1,0)，即3＋a≠0.∴a≠－3，即a∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β，作OH⊥AB，垂足为H，则∠BOH＝α－β2.∵OH⊥AB，∴kAB·kOH＝－1.∴tanα＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1＜－a2＜1－a2≠32即－2＜a＜－3或－3＜a＜2.(2)由图知：当－3＜a＜2，即－a2∈－1，32时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6，∵α＋β＝7π3.当－2＜a＜－3，即－a2∈32，1时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.归纳拓展(1)此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－3时，方程只有一解．(2)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．变式训练1设有函数f(x)＝a＋－x2－4x和g(x)＝43x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．解f(x)≤g(x)，即a＋－x2－4x≤43x＋1，变形得－x2－4x≤43x＋1－a，令y＝－x2－4x，①y＝43x＋1－a.②①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：y＝43x＋b(b＞0)，则圆心(－2,0)到AT的距离为d＝|－8＋3b|5，由|－8＋3b|5＝2得，b＝6或－23(舍去)．∴当1－a≥6即a≤－5时，f(x)≤g(x)．二、数形结合思想在求目标函数最值、代数式或参数范围的应用例2已知实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)b－2a－1的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．解(1)方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内．由此可得不等式组f(0)＞0，f(1)＜0，f(2)＞0⇒b＞0，a＋2b＋1＜0，a＋b＋2＞0.由a＋2b＋1＝0，a＋b＋2＝0解得A(－3,1)．由a＋b＋2＝0，b＝0解得B(－2,0)．由a＋2b＋1＝0b＝0解得C(－1,0)．∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．△ABC的面积为S△ABC＝12×BC×h＝12(h为A到Oa轴的距离)．(2)b－2a－1的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率．∵kAD＝2－11＋3＝14，kCD＝2－01＋1＝1，由图可知kAD＜b－2a－1＜kCD，∴14＜b－2a－1＜1，即b－2a－1∈(14，1)．(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17)．归纳拓展b－na－m型表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率，(a－m)2＋(b－n)2表示这两点间的距离，解决此类问题时，一定要注意观察，联想数与形的对应类型，就能自然地运用数形结合的思想方法．变式训练2已知实数x，y满足x2＋y2＝3(y≥0)，m＝y＋1x＋3，b＝2x＋y.(1)求m的取值范围；(2)求证：b∈[－23，15]．(1)解m可看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点M(x，y)和定点A(－3，－1)的直线的斜率．由图可知k1≤m≤k2(k1，k2分别为直线AM1，AM2的斜率)，k1＝13＋3＝3－36，圆心到切线k2x－y＋3k2－1＝0的距离为d＝|3k2－1|k22＋1＝3，k2＝3±216(舍去负值)，∴3－36≤m≤3＋216.(2)证明b可看作斜率为－2，过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上一点P(x，y)的直线在y轴上的截距．由图可知n2≤b≤n1，P2C有方程为y＝－2(x＋3)，令x＝0，y＝n2＝－23，∵圆心到切线P1B：2x＋y＋c＝0的距离d＝|c|5＝3，∴c＝±15，n1＝15，∴－23≤b≤15.三、数形结合思想在解析几何中的应用例3已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝12PA·AC＝12PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC＝3×1＋4×1＋832＋42＝3，从而PA＝PC2－AC2＝22.∴(S四边形PACB)min＝2×12×PA×AC＝22.方法二利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则PC＝(x－1)2＋(y－1)2，由勾股定理及AC＝1，得PA＝PC2－AC2＝(x－1)2＋(y－1)2－1，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·12PA·AC＝PA＝(x－1)2＋(y－1)2－1,从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9，∴(S四边形PACB)min＝9－1＝22.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB＝(x－1)2＋(y－1)2－1中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min＝22.归纳拓展本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决．变式训练3已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．解析定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点，解得这个点的坐标是(14，－1)．(14，－1)规范演练一、填空题1．(2011·大纲全国改编)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________．解析如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c.由题意知CA→⊥CB→，∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC→|＝2.22．(2011·课标全国改编)函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和为______．解析令1－x＝t，则x＝1－t.由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.又y＝2sinπx＝2sinπ(1－t)＝2sinπt.在同一坐标系下作出y＝1t和y＝2sinπt的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，因此x1＋x2＋…＋x8＝8.答案83．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析记抛物线y2＝4x的焦点为F，则F(1,0)，注意到直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，于是抛物线y2＝4x上的动点P到直线l2的距离等于PF，问题即转化为求抛物线y2＝4x上的动点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2.24．y＝f(x)＝3x＋6，x≥－2－6－3x，x－2，若不等式f(x)≥2x－m恒成立，则实数m的取值范围是_______________．解析在平面直角坐标系中作出函数y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)的图