基本初等函数复习学案

基本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan。（2）．幂的有关概念①规定：1）naaaan(N*；2）)0(10aa；n个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ）；2）raaasrsr,0()(、sQ）；3）rbababarrr,0,0()(Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；3）1logaa；4）对数恒等式：logxaax，NaNalog。③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称（2）对数函数：①定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。（3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。（3）已知11223xx，求22332223xxxx的值题型2：对数运算例2.幂函数()yfx的图象经过点1(2,)8，则满足()fx＝27的x的值是.例3．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23题型3：指数、对数方程例5．已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围.题型4：指数函数的概念与性质例7．设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx＜，则的值为，（）A．0B．1C．2D．3题型5：指数函数的图像与应用例9．若函数myx|1|)21(的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤－1B．－1≤m0C．m≥1D．0m≤1解：)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx，画图象可知－1≤m0。答案为B。例10．设函数|1||1|()2,()22xxfxfx求使的x的取值范围。解：由于2xy是增函数，()22fx等价于3|1||1|2xx①1)当1x时，|1||1|2xx，①式恒成立；2)当11x时，|1||1|2xxx，①式化为322x，即314x；3)当1x时，|1||1|2xx，①式无解；综上x的取值范围是3,4。题型6：对数函数的概念与性质例11．函数2log2xy的定义域是（）A．),3(B．),3[C．),4(D．),4[例13．当a1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx解：当a1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a1时，y=(1－a)x为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例16．已知函数1,0)((log)(aaxaxxfa为常数）（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性例18．设1x，1y，且2log2log30xyyx，求224Txy的最小值。解：令logxty，∵1x，1y，∴0t。由2log2log30xyyx得2230tt，∴22320tt，∴(21)(2)0tt，∵0t，∴12t，即1log2xy，∴12yx，∴222244(2)4Txyxxx，∵1x，∴当2x时，min4T。作业：3、若{|2},{|1}xMyyPyyx，则M∩P（）A.{|1}yyB.{|1}yyC.{|0}yyD.{|0}yy4、对数式2log(5)aba中，实数a的取值范围是（）A.a5,或a2B.2a5C.2a3,或3a5D.3a45、已知xaxf)()10(aa且，且)3()2(ff，则a的取值范围是（）A.0aB.1aC.1aD.10a6、函数|log|)(21xxf的单调递增区间是A、]21,0(B、]1,0(C、（0，+∞）D、),1[7、图中曲线分别表示lgayox，lgbyox，lgcyox，lgdyox的图象，,,,abcd的关系是（）A、0ab1dcB、0ba1cdC、0dc1abD、0cd1ab8、已知幂函数f(x)过点（2，22），则f(4)的值为（）A、21B、1C、2D、89、0.5log0.6a，2log0.5b，3log5b，则()A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b10、已知)2(logaxya在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是()A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞）11、函数)1(log21xy的定义域为.12.设函数4242xxfxxfx，则2log3f=14、函数2)23x(lg)x(f恒过定点15、求下列各式中的x的值1)1x(ln)1(2211(2),a0a1.xxaa其中且16、点（2，1）与（1，2）在函数2axbfx的图象上，求fx的解析式。18．已知()2xfx，()gx是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]fgx的图象上，点(2,5)在函数[()]gfx的图象上，求()gx的解析式．20、已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数。（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数fx的单调性;xyOy=logaxy=logbxy=logcxy=logdx1