高中数学概念汇总

1高中数学概念汇总一．集合的概念：1.集合的表示法：（1）列举法：如{1,2,3,4,5};(2)描述法：如{x|x≤2};2.集合间的关系：（1）子集：A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记为AB;任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集。（2）真子集：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集，记为BA。空集是任何一个非空集合的真子集。（3）两个集合相等：对于两个集合A与B,如果AB,同时AB，那么就说这两个集合相等，记作A=B.3.集合的运算：（1）交集：BA{x|,Ax且Bx}；（2）并集：BA={x|Ax或Bx}；（3）补集：若全集为U,则集合A的补集为ACU={x|Ux但Ax}。4.当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么。集合{x|f(x)=0}{x|f(x)0}{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图像上的点集5.集合中元素的三大属性;(1)元素的确定性；（2）元素的无序性；（3）元素的互异性。对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足元素的互异性。6.常用数集的记号:自然数集N;整数集Z;有理数集Q;实数集R;复数集C.空集。二．命题1.四种命题形式：如果一命题条件为A，结论为B,那么该命题的原命题形式是：若A成立，则B成立（即AB);它的逆命题形式是：若B成立，则A成立（即BA);它的否命题形式是：若A不成立，则B不成立（即BA）；它的逆否命题形式是：若B不成立，则A不成立（即AB）。等价命题：若甲，乙两命题满足：甲乙，乙甲，则称甲乙两命题是等价命题，记为甲乙；原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题。2.充分条件与必要条件：设条件A和结论B,如果AB,那么A是B的充分条件，或说B是A的必要条件；如果AB，那么A是B的必要条件，或说B是A的充分条件；如果BA，那么A是B的充分必要条2件，简称充要条件。设A={a|a具有性质α}，B={b|b具有性质β}，则BA与α等价。3.关于四个命题的真值表原命题：若p,则q逆命题：若q,则p否命题：若p，则q逆否命题：若q，则p真真真真真假假真假真真假假假假假如果两个命题互为逆否命题，那么它们具有相同的真假值。如果两个命题为互逆命题或者是互否命题，那么它们的真假没有必然联系。三．不等式1.实数比较大小的基本方法：即等价关系：0;0;0babababababa2.掌握不等式的8个基本性质（1）若ab,bc,那么ac;(2)若ab,那么a+cb+c;(3)若ab.c0.那么acbc;若ab,c0,那么acbc;(4)若ab.cd,那么a+cb+d;(5)若ab,cd,那么a-cb-d;(6)若ab0,那么ba110；若0ab,那么011ba；（7）若ab0,cd0,那么acbd;(8)若ab0,那么nnba，且nnba（nN,n1)3.含有绝对值不等式的性质bababa4.基本不等式：（1）当a0,b0时，abba2，当且仅当a=b时等号成立；（2）因为a+b≥ab2,所以，若积ab为定值，则a+b有最小值ab2；（3）因为2)2(baab，所以，若和a+b为定值，则ab有最大值2)2(ba（4）当a0,b0时，有baabbaba1122222（两个正数的平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的大小关系）。5.解不等式（1）一元一次不等式：如果a0,那么axb的解为abx；如果a0,那么axb的解为abx；如果a=0,b≥0时，不等式无解；b0时，不等式的解为R.3（2）一元二次不等式：任何一个一元二次不等式都可以化为)0(,02acbxax或)0(,02acbxax可利用二次函数图像求解，其解的情况如下：)0(02acbxax的两根的判别式042acb042acb042acb)0(2acbxaxyY1x2xx1xxOx)0(02acbxax解集),(),(21xx解集{x|x≠1x,Rx}解集R)0(02acbxax解集),(21xx解集解集)0(02acbxax解集),[],(21xx解集R解集R)0(02acbxax解集],[21xx解集{x1}解集.(3)含有绝对值的不等式当a0时，有22xaxaaxa.22xaxaxa或xa(4)形如0dcxbax（或0)的分式不等式与一元二次不等式（ax+b)（cx+d)0同解；形如0dcxbax的分式不等式与一元二次不等式(ax+b)(cx+d)0同解。解分式不等式一般不能去分母。四．函数1.函数的定义域：当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合。当函数是以实际问题的形式给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要考虑实际意义。2.函数值域的主要求法：（1）利用函数的单调性；（2）利用配方法；（3）利用函数的有界性；（4）利用判别式法：形如hqxpxcbxaxy22（a,p至少有一个不为零）的函数，求其值域，可利用判别式法；（5）利用换元法；（6）利用基本不等式；（7）几何法：利用数形结合的思想4方法，通过函数的曲线图形间的关系，利用平面几何的知识求值域。3.求函数解析式的四种常用方法：（1）拼凑法：由已知条件xFxgf，可将F(x)改写成g(x)的表达式，然后用x代替g(x),便可得到f(x)的表达式；（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数，二次函数）可用待定系数法；（3）换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意“新元”的取值范围。（4）解方程组法：已知关于f(x)与)(1xf或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).4.函数的奇偶性：对于函数定义域内的任意x，恒有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),那么分别称f(x)是奇函数或偶函数。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。5.函数的单调性：对于区间I上的函数f(x),若任取Ixx21,，且21xx，恒有21xfxf，则称f(x)在区间I上是增函数；恒有21xfxf，则称f(x)在区间I上是减函数，这个区间I叫做f(x)的单调区间。判断函数单调性的方法：（1）定义法：利用定义法的关键是对21xfxf的整理，化简，变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解，配方法，分子（分母）有理化等。（2）图像观察法；（3）利用已知函数的单调性；（4）利用复合函数单调性法则：（里外函数单调性一致增；里外函数单调性相反减）6.函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f（x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。（1）方程的根与函数零点的关系：方程f(x)=0有实数根，可得出y=f(x)的图像与x轴有交点，进而得到：函数y=f(x)有零点。（2）零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0,那么函数Y=f(x)在区间[a,b]上有零点，即存在bac,，使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根。7.一元二次函数：（1）一元二次函数的三种表示方法：①)0(2acbxaxy；②mnxay2；③21xxxxay，其中a≠0.8。.幂函数：形如xy（αR）的函数叫做幂函数。定义域因α而异，当α≠0,1时，幂函数xy在区间[0,+)上的图像分三类（如图）5Ya10a11a0O1x要作幂函数xy在α≠0,1时的图像，可分两步完成：首先根据α的大小，作出该函数在区间,0上的图像，然后根据该函数的奇偶性，补全函数在y轴左側的图像。9.反函数：（1）若函数y=f(x)Dx的值域为A,则函数f(x)有反函数的充要条件是对应法则使集合D与集合A中的元素是一一对应的，其反函数记作xfy1（Ax）；（2）求y=f(x)的反函数的步骤分三步：①由方程y=f(x)反解出x=g(y);②互换字母x,y得y=g(x);③由原函数的值域A确定g(x)的定义域，于是xgxf1Ax即为所求函数；（3）Y=f(x)及其反函数xfy1的图像关于直线y=x对称；（4）关于互为反函数的两个函数间有如下的性质：①xxffxff11；②y=f(x)与xfy1的奇偶性，单调性相同；（5）在定义域上单调的函数一定有反函数，有反函数的函数不一定是单调函数。10.指数函数及其性质：（1）形如：)1,0(aaayx的函数叫做指数函数；（2）图像：yya10a111Oxox(3)性质可由图直接得到；（4）指数的运算性质：①;aaa②aa；③baab.611.对数函数及性质：（1）对数的概念1,0aaNabNbalog，以10为底的对数叫常用对数，记为lgN;以e为底的对数叫自然对数，记作lnN;（2）对数的性质：NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；1,0,0,loglogaaNMMnMana；换底公式aNNbbalogloglog（a,b0,a≠1,b≠1)(3)形如：xyalog（a0且a≠1)的函数叫做对数函数。xyalog与xay是互为反函数(4)对数函数的图像和性质：yya10a1O1xo1x性质可由图直接得到。12.指数方程和对数方程：（1）某些指数方程的解法：①形如xgxfaa的方程可利用指数性质，即同底的幂相等它们的指数相等，化成普通方程f(x)=g(x)来解；②形如xgxfba的方程可两边取对数，化成xgxfbaloglog来解；③形如0xaf的方程，可利用换元法，设y=xa,解方程f(x)=0,求出y,即xa，再进一步求解。（2）某些对数方程的解法：①形如bxfalog的方程，可利用对数定义，化成xaxf来解；②形如xgxfaaloglog的方程，可利用对数性质，即同底数的对数相等，则它们的真数也相等。化成f(x)=g(x)来解；其结果要检验，确保f(x)0.且g(x)0.③形如bxfalog的方程可利用换元法，设y=xalog,先解f(y)=0,再进一步求解；④对数式的底数中含有未知数的方程，可根据具体情况，利用对数定义或换底公式等，把原方程化成简单的形式再求解。五．三角比1.弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，这种用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫弧度制。（1）弧长L和半径r,及圆心角α的关系是rl,一般规定，正角的弧度为正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零。（2）弧度与角度不能混合书写。7（3）23600弧度，0180弧度，18010弧度≈0.01745弧度，1弧度=0)180(≈57.300='01857。（4）弧长公式与扇形面积公式：lrrSrl2121,2（其中α为弧度数）。2.任意角：角的定义：一条射线绕着它的端点，由初始位置旋转到最终位置就形成了一个角。角可分正角（逆时针旋转），负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）。3.与α终边相同的角的集合可表示为：{β|β=k▪3600+α,kZ}或{β|β=2kπ+α