第一章-函数、极限与连续-内容小结

第一章函数、极限与连续内容小结数学与统计学院常争鸣一、函数1.函数的定义3.复合函数与反函数的概念2.函数的几种特性单调性，周期性，奇偶性，有界性4.初等函数的概念二、极限的概念0,+,NN当时，nNlimnnaAnaA0,0,X当时，||xX()fxAlim()xfxA0,0,当时，00xx()fxA0lim()xxfxA三、极限的性质1.唯一性存在0lim()xxfxA极限必唯一2.有界性存在0lim()xxfxA在某个内，().fxM0(),UxO设0lim(),xxfxA0lim(),xxgxB则0lim;xxfxgxAB(1)0lim;xxfxgxAB(2)0lim0.xxfxABgxB(3)3.有理运算4.夹逼原理()()(),gxfxhx且00limlim.xxxxgxhxA则0lim().xxfxA5.保号、保序性00lim,lim.xxxxfxAgxB设(2)若，AB()0.fx(1)若0,A当时，o0(,)xUx()().fxgx则0，当时，o0(,)xUx则0，设在内有0(),UxO单调、有界的数列必定收敛.6.单调有界原理0sinlim1.xxx1lim(1)xxex四、两个重要极限五、无穷小与无穷大1.定义(1)若0lim0,xxfx为时的无穷小量(或无穷小).则称()fx0xx(2)若0,M0,当时，00xx(),fxM0lim()xxfx记作为时的则称()fx0xx无穷大量(或无穷大).2.性质(4)有限个无穷大的乘积仍是无穷大；(5)无穷大与有界函数的和仍是无穷大.(2)有限个无穷小的和、积仍是无穷小；(3)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小;(1)为无穷小;()x()(),fxAx0lim()0xxfx3.无穷小阶的比较设与是自变量在同一变化趋势下的两个无穷小，且x()()xx()lim,()xx(1)若0,()();xox(2)若0,与为同阶无穷小;()()xx(3)若1,()().xx则：4.几个常用等价无穷小公式当时，0x~sin~tan~arcsin~arctan;xxxxx211cos~;2xx(1)1~.xx~ln(1x)~e1;x六、连续函数1.连续几种形式的定义0,0,当时，0xx0()().fxfx00lim()()xxfxfx(1)0lim0xy(2)(3)000lim()lim()()xxxxfxfxfx(4)2.间断点则称为的一个间断点.0()xfx但在点不连续,0x设在的去心邻域有定义，0()fxx0()UxO（2）间断点的分类第一类间断点：左、右极限都存在的间断点.第二类间断点：其它间断点.（1）定义（可去、跳跃）（无穷、振荡型等）3.连续函数的运算（1）有理运算：两个连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数.（2）复合：两个连续函数的复合函数仍连续.（3）反函数：严格单调的连续函数，其反函数也严格单调并连续.4.初等函数的连续性初等函数在它有定义的区间上处处连续.5.闭区间上连续函数的性质之间的任何值.()C,(),.fxabfxab在有界（1）()C,(),Mmfxabfxab在的最大值与最小值必存在.（2）()C,,()()0(,),()0.fxabfafbabf使（3）()C,()mMfxabfx必能取到介于最小值与最大值（4）七、几种不定型的求极限问题1.型分子、分母同除以该式中最大的无穷大（1）只含有理、无理函数时，消零因子;2.00型（2）含超越函数时，利用等价无穷小代换.3.0或型化为或型004.1型利用重要极限10lim(1)xxxe例1求23lim2nnnnnn解113lim12nnn2.原式例2求2232lim1xxxx解1.原式22321lim11xxxx例3求22132lim1xxxx解1.2原式1(1)(2)lim(1)(1)xxxxx1(2)lim(1)xxx例4求363lim12xxx解3(12)(3)lim(63)(3)xxxxx2.3原式312lim63xxx例5求20(1)(1cos)limsin()ln(12)xxexxx解2202lim2xxxxx原式1.4例6求1lim(1)tan2xxx解0limcot2ttt原式2.令1,xt1,xt0limtan2ttt0lim2ttt例7求3113lim11xxx解2212lim(1)(1)xxxxxx原式1.21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx212lim1xxxx例8求1lim,.11nmxnmmnNxx、解2111lim(1)(1)(1)mnnmxnnxmmxxxxxx原式.2nm201(1)(1)limnmtmtntnmmnt22220(1)(1)()122limtnnmmmtntotmnt1xt1xt例9求0112lim13xxxxx解5(1)1313505lim113xxxxxxx原式5e例10求210limcosxxx解2cos11cos10lim1(cos1)xxxxx原式12e