子空间的基本内容

线性子空间的研究1线性子空间的研究数学与应用数学专业学生：罗柏平指导老师：周绍杰摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果.关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数Abstract:Linearspaceandsubspacesareoneoflinearalgebra，andtheyhavebeenappliedtomathematicsorotherfieldsextensively.Thispaperdiscussedthelinearsubspaceandpay,andand,andsubspacestraight.Andwediscussedthelinearsubspace,subspacestraightandfewequivalencedefinition，anddidsomepromotion;Baseduponthese,drawsubspaceofmixedoperationisforandincludedrelationanditstwosubspaces,andfurtherdiscussionwasgivedandseveralimportantconclusionsweregiven.Keyword:linearspace;linearsubspace;intersectionofsubspaces;dimensions0引言线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间.线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等.它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.线性子空间的研究21子空间的基本内容1.1基本概念定义1(子空间)数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间或简称子空间，如果W对于V的两种运算加法和数乘也构成线性空间.定义2(生成子空间)设12,,,rV…，则子空间1122{+,1,2,,}rriWkkkkPir……即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由12,,,r…生成的子空间，记作12(,,,)rL….12,,,r…称为它的一组生成元.定义3(和与交、直和)i设1V、2V是线性空间V的两个子空间，满足121122{}VV，的称为1V与2V的和，记作1V+2V;满足12VV且的称为1V与2V的交，记作12VV.ii若12,VV是线性空间V的两个子空间，如果12VV中每一个向量的分解式121122(,)VV是唯一的，则12VV就称为直和.记为12VV.iii线性子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设12,,,sVVV是线性空间V的子间，如果和12sVVV中每个向量的分解式12s,,1,2,,iiVis是唯一的，则该和称为直和，记为.21VVV1.2基本结论命题1(子空间的判别)线性空间V的一个非空子集W是V的子空间的充分必要条件是，W对于V中规定的加法和数乘运算封闭.命题2(维数公式)如果12,VV是有限维线性空间V的两个子空间，那么dim（1V）+dim（2V）=dim（12VV）+dim（12VV）.命题3(直和的等价条件)若12,,,sVVV是线性空间V的子空间，则以下条件等价.线性子空间的研究3（1）12sWVVV是直和；（2）零向量的表示法唯一；（3）0(1,2,,)ijjiVVis；（4）dim（W）=1dim()siiV.命题4设V是P上的有限维线性空间，1,,sV….则向量组的极大线性无关组就是生成子空间1(,,)nL…的基，且秩(1,,s…)=dim(L).向量组1,,s…与1,,t…等价的充要条件是1(,,)sL…=1(,,)tL….2子空间的几个性质性质1设12,,,n…是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且1212(,,,)(,,,)snA……，则12(,,,)sL…的维数等于A的秩.证明：要证明12(,,,)sL…的维数等于A的秩,只需证12,,,s…的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩.设nsnrnsraaaaaaA...........................11111，且rrArank,)(min(,)ns.不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件得nnssssnnrrrrnnaaaaaaaaa.....................................................................................................2211221112211111，可证12,,,r…构成12,,,r…，1,,rs…的一个极大线性方程组.事实上，设0...2211rrkkk，于是得线性子空间的研究40)...(...)...()...(1112221111111nrrnrrrrakakakakakak，因为12,,,n…线性无关，所以0.............................................0...22111212111rnrnnrrkakakakakaka，该方程组的系数矩阵秩为,r故方程组只有零解即0...21rkkk，于是12,,,r…线性无关.其次可证：任意添一个向量j后，向量组12,,,r…，j一定线性相关.事实上，设0...2211jjrrkkkk，于是0.............................................0...221111212111jnjrnrnnjjrrkakakakakakakaka，其系数矩阵的秩为rr+1，所以方程组有非零解,,,...,,21kkkkr即r,...,,21，j线性相关.因此，12,,,r…是s,...,,21的极大线性无关组.故),...,,(21sL的维数等于A的秩，即等于)(Arank.性质2设sVVV,...,,21是线性空间V的s个非平凡的子空间，那么V中至少有一向量不属于sVVV,...,,21中的任何一个.证明：采用数学归纳法.当n=2时，由上题已证命题成立.现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中至少存在一个向量不属于121,...,,sVVV中任意一个，如果sV，则命题已证.若sV，对,P向量sVk，且对P中s不同的数,,...,,21skkk对应的s个向量)....2.1(sik中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间).1....2.1(siVi换句话说，上述S个向量)....2.1(sik中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间(1,2,1)iVis…，，记为00ik，易见0也不属于sV.即证线性子空间的研究5命题对s个非平凡的子空间也成立.即证.性质3设12VV和都是线性空间V的子空间，则1dimV=2dimV的充要条件是12VV=.性质412SS和都是向量空间V的子空间.如果12SS也是V的子空间，那么12SS或21SS.证若21SS，则存在12S，但11S.任取1S，则1212SSSS，.由12SS为子空间知112+SS.若1+S，则由11S必有1S，矛盾.故必有2+S，由2S必有2S，从而21SS.性质5假设V为数域F上的向量空间，12,,nVVV…,是V的n个子空间，则同时含有12,,nVVV…,的所有子空间之交等于12+++nVVV….证含W为同时含有12,,nVVV…,的所有子空间之交，则W是V的一个子空间，并且,1,2,iVWin…,.任取12+++naVVV…，则12+++naaaa…，iiaV，1,2,,in….于是aW即12+++nVVVW….另一方面，12+++,inVVVV…1,2,,in….12+++nVVV…是V的子空间，故12+++nWVVV….因此，12+++nWVVV….性质6若.UVWWUV，，是某个向量空间的子空间，且则(a)WUWVW并不是不是永远成立.例如令((1,0,0)),((1,0,1)),((0,0,1))WULVL,则U，V，W都是实数域R上向量空间4R的子空间.易知WUV，且{0}UVVU.这时WUWVW;(b)若,UW则(a)中的等式恒成立.事实上，.UWUW又任取，UV则，于是有12,UV，使12，即21W，从而2VW.因此UVW.即WUVW.又因,UWVWW，而W是子空间，故UVWW.于是证得WUVWUWVW.线性子空间的研究6性质7设1R,2R,3R是向量空间V的子空间，那么（1）1231323(+++RRRRRRR）（）（）；（2）1323133(+(+RRRRRRR））（）.证：（1）任取123(+RRR），则112RR，23R，使12=+。于是11R，12R，从而1213++RR，1223++RR，即121323=+++RRRR（）（）.故1231323(+++RRRRRRR）（）（）.（2）任取1323++RRRR（）（），则有113RR，223RR，使12=+.于是11R，13R，22R，23R从而1212++RR，123+R.因此，12123=++RRR（），即1323123++(+RRRRRRR（）（））.3求子空间交的基3.1直接求法设11(,,)sL…,112,VVV为V的两个子空间，若12LL,则1111ssttkkll…….于是方程组11110ssttkkll……的基础解系就对应着12LL的基.我们来看这个例子.求由向量12,生成的子空间与由向量12,生成的子空间的交的与维数，设12(1210)(1000)aa，，，，，，，1221011137，，，，，，.解设所求交向量1k12k21l12l2，则有1k12k21l12l20，线性子空间的研究7即0703020221222121212121llklkkllkkllkk，可算得7110301111121211D0，且01