指数与指数函数复习课

要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,这里n叫做_________，a叫做___________.§2.4指数与指数函数a的n次方根na根式根指数被开方数基础知识自主学习（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.nananananna)(a④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；nna||aann)0()0(aaaaaaaaaan1pa1④正分数指数幂：=_______（a0，m、n∈N*，且n1）；⑤负分数指数幂：==(a0,m、n∈N*,且n1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=______(a0,r、s∈Q);②(ar)s=______(a0,r、s∈Q);③(ab)r=_______(a0,b0,r∈Q).nmanmanmanma1nma1ar+sarsarbr0没有意义3.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x0时,_____;x0时,_______(2)当x0时,_______;x0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y1y10y10y1减函数增函数练习：1、下列等式中一定成立的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2、计算下列各式4462323242)(;)(332263;aaA题型分类深度剖析.)()();())()((;)()(;)()().)((.33312248436235491325129721252702701323234316561312121320503132bbababababbababa0.09-14、右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()A.ab1cdC.1abcdB.ba1dcD.ab1dc3、判断下列函数是否是指数函数xxxxyyyy)3()4(32)3()21()2()21()1(1212)6(1)21()5(xyyx答案B3.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x0时,_____;x0时,_______(2)当x0时,_______;x0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y1y10y10y1减函数增函数5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有（）A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a0且a≠16、比较大小：9.05.01.36.05.03..023.15.0,9.0)4(9.0,8.1)3(8.0,8.0)2(5.2,5.2)1(C1、求函数xxf1)21()(定义域与值域一、指数函数定义域与值域21(01).21xxyaa例1：求函数且的值域212:12121xxxy解法一由2202,202121xx即120,211,0121xxx又)1,1(y:21,2(1)121xxxyyy解法二11y)1,1(所求函数的值域为分离参数—化归利用函数的有界性—逆求例2、设a0,且a≠1,如果函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]的最大值为14，求a的值。[提示].31142)11(],1,[,10;3142)1(],,1[,121122max2max22aayaaaaaayaaaaaaa：yxxxxx得由时当得由时当配方得二、指数函数的性质【例3】(12分)设函数f(x)=为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪1222xxaa解(1)方法一依题意，函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，设x1x2且x1,x2∈R，8分,12221222xxxxaaaa,1212)(xxxf,0222a10分∴f(x2)f(x1),∴f(x)在R上是增函数.12分(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1x2推得实质上应用了函数f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.,0)12)(12()22(2)1221()1221(12121212)()(121212112212xxxxxxxxxxxfxf则,2221xx探究提高知能迁移2设是定义在R上的函数.（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.xxaaxfee)(三、指数函数的图象及应用【例3】已知函数(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.思维启迪化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值.)31(|1|xy解（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x0)y=3x+1(x-1).向左平移1个单位向左平移1个单位,)1(3)1()31()31(11|1|xxyxxx)0()31(xyx);()(1311xyx图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.探究提高知能迁移3若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.解析数形结合.当a1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.当0a1时，如图②,由图象知02a1,)21,0(.210a1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0a1，x→+∞时，y→0；当a1，x→-∞时,y→0;当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、(0,1)、(-1,).方法与技巧a1思想方法感悟提高3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.1.指数函数y=ax(a0,a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究.2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.失误与防范考点2指数函数的图象及应用(1)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为导学号58532194()(2)(2018·湖北黄冈质检)函数y＝ax(a0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是导学号58532195()A．ba0B．a＋b0C．ab1D．loga2b(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是__________.导学号58532196[分析](1)将函数化为f(x)＝2×(12)x的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断；(2)由图确定a、b的范围求解；(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．[解析](1)解法一：函数f(x)＝21－x＝2×(12)x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．解法二：(采用平移法)因为函数f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先画出函数y＝2－x的图象，再将y＝2－x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A符合．(2)由图可知，y＝ax单调递增，则a1；y＝xb单调递减，则b0，A：ba0不一定成立，如a＝3，b＝－1；B：a＋b0不一定成立，如a＝2，b＝－3；C：ab1不成立，ab0的；故选D．(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，1a)．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．〔变式训练2〕(1)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是导学号58532197()(2)已知实数a，b满足等式(12)a＝(13)b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有导学号58532198()A．1个B．2个C．3个D．4个(3)(2017·汕头模拟)若将本例改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________.[解析](1)当0a1时，y＝ax－1a递减，当x＝0时，y＝1－1a0.故选D．(2)在同一坐标系内，作出函数y＝(12)x和y＝(13)x的图象(如图)．如图：ab0时，(12)a＝(13)b可能成立．ab0时，(12)a＝(13)b可能成立．a＝b＝0时，(12)a＝(13)b显然成立．0ab时，显然(12)a(13)b.ba0时，显然(12)a(13)b.综上可知：①②⑤可能成立，③④不可能成立．(3)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．当a1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0a1时，要使两个图象有两个交点，则02a1，得到0a12，如图(2)．综上可知，a的取值范围是(0，12)．考点3指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小(2015·山东高考)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是导学号58532199()A．abcB．acbC．bacD．bca考点3指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂