微分中值定理的证明与应用

微分中值定理的证明与应用B09030124孙吉斌一中值定理及证明：1.极值的概念和可微极值点的必要条件:定理(Fermat)设函数f在点0x的某邻域内有定义，且在点0x可导，若点0x为f的极值点，则必有0)(0xf罗尔中值定理：若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间[a，b]上连续；（ii）f在开区间（a，b）内可导；（iii）)()(bfaf，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0。证明：因为f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则f在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m＜M，则因f(a)=f(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f的极值点，由条件(ii)f在点ξ处可导，故由费马定理推知)(f=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。例如：2x1,11x2,01|x|,xF(x)x易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）,即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点ξ,满足0)(F注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：0x0,0x,sinxf(x)x142在[-1，1]上满足罗尔定理的条件，显然0x0,cossin2xsin4x(x)fx1x1x1232在（-1，1）内存在无限多个nc=)(21znn使得)(ncf=0。2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数ƒ满足如下条件：i)ƒ在闭区间[ba,]上连续；ii）ƒ在开区间(ba,)内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得abafbff)()()(证明此定理要构造辅助函数)(xF，使得)(xF满足罗尔定理的条件（i）-(iii)且abafbfxfxF)()()()(，从而推得b][a,xa),(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x)证明：作辅助函数a)(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x)显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ(a，b)，使得0)()()()(abafbffF即abafbff)()()(注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(bfaf时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(xfy上至少存在一点))(,(fP，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数)(xF，正是曲线)(xfy与直线AB,)()()()(axabafbfafy之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：),(),)(()()(baabfafbf)1,0(),)](([)()(ababafafbf)1,0(,)()()(hhafafhaf注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f在（a,b）可导可以推出ƒ在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数)(xf在（a，b）可导且)(xf在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1函数)(xf在区间I上可导且)(,0)(xfxf为I上的常值函数.证明：任取两点Ixx21,（设21xx），在区间[21,xx]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ（21,xx）I，使得0))(()()(1212xxfxfxf推论2函数)(xf和)(xg在区间I上可导且,)()(),()(cxgxfxgxf.Ix推论3（导数极限定理）设函数f在点0x的某邻域U（0x）内连续，在U°（0x）内可导，且极限)(lim0xfxx存在，则f在点0x可导，且)(lim)(00xfxfxx证明：分别按左右导数来证明上式成立（1）任取)(00xux，)(xf在[xxo,]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在ξ),(xxo，使得)()()(00fxxxfxf由于0x＜ξ＜x，因此当0xx时随之有ξ→0x，对上式两边取极限，使得)0()(lim)()(lim)(000000xffxxxfxfxfxxxx（2）同理可得)0()(00xfxf因为0limxx)(xf=k存在，所以)0(0xf=)0(0xf=k，从而kxfxf)()(00即kxf)(0注1°由推论3可知：在区间I上的导函数)(xf在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4(导函数的介值性)若函数f在闭区间],[ba上可导,且,0)()(bfaf.0)(),,(fba(证)二应用举例:1可微函数单调性判别法：1.1一阶函数与单调性的关系：(1)设函数)(xf在区间),(ba内可导.则在),(ba内)(xf↗(或↘)在),(ba内0)(xf(或0).证))证0)(xf.(2)设函数)(xf在区间),(ba内可导.则在),(ba内)(xf↗↗(或↘↘)ⅰ对),,(bax有0)(xf(或)0;ⅱ在),(ba内任子区间上.0)(xf2可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少.2.1可微极值点的必要条件:Fermat定理函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点,可疑点的求法.2.2极值点的充分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.(充分条件Ⅰ)设函数)(xf在点0x连续,在邻域),(00xx和),(00xx内可导.则ⅰ在),(00xx内,0)(xf在),(00xx内0)(xf时,0x为)(xf的一个极小值点;ⅱ在),(00xx内,0)(xf在),(00xx内0)(xf时,0x为)(xf的一个极大值点;ⅲ若)(xf在上述两个区间内同号,则0x不是极值点.(充分条件Ⅱ)设点0x为函数)(xf的驻点且)(0xf存在.则ⅰ当0)(0xf时,0x为)(xf的一个极大值点;ⅱ当0)(0xf时,0x为)(xf的一个极小值点.证法一.)(lim)()(lim)(000000xxxfxxxfxfxfxxxx当0)(0xf时,在点0x的某空心邻域内0)(xxxf)(,0xf与0xx异号,……证法二用Taylor公式展开到二阶,带Peano型余项.(充分条件Ⅲ)设0)()()(0)1(00xfxfxfn,而0)(0)(xfn.则ⅰn为奇数时,0x不是极值点;ⅱn为偶数时,0x是极值点.且0)(0)(xfn对应极小;0)(0)(xfn对应极大.2.3利用单调性证明不等式:原理1:若f↗,则对,有不等式)()(ff.例4证明:对任意实数a和b,成立不等式.1||1||||1bbaababa证取,0)1(1)().0(,1)(2xxfxxxxf在),0[内)(xf↗↗.于是,由||||||baba,就有)||||()||(bafbaf,即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||bbaababbaababababa.不等式原理:设函数)(xf在区间),[a上连续,在区间),(a内可导,且0)(xf;又.0)(af则ax时,.0)(xf(不等式原理的其他形式.)2.4.1凸性的定义及判定：（1）凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义设函数)(xf在区间],[ba上连续.若对],[,21baxx,恒有2)()(22121xfxfxxf,或2)()(22121xfxfxxf.则称曲线)(xfy在区间],[ba上是凹(或凸)的.若在上式中,当21xx时,有严格不等号成立,则称曲线)(xfy在区间],[ba上是严格凹(或严格凸)的.凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2)凸性的几何意义:倘有切线,与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向.2.4.2利用二阶导数判断曲线的凸向:设函数)(xf在区间),(ba内存在二阶导数,则在),(ba内⑴)(,0)(xfxf在),(ba内严格上凸;⑵)(,0)(xfxf在),(ba内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一(用Taylor公式)对),,(,21baxx设2210xxx,把)(xf在点0x展开成具Lagrange型余项的Taylor公式,有,)(2)())(()()(201101001xxfxxxfxfxf202202002)(2)())(()()(xxfxxxfxfxf.其中1和2在1x与2x之间.注意到)(0201xxxx,就有20222011021))(())((21)(2)()(xxfxxfxfxfxf,于是若有,0)(xf上式中)(2)()(,0021xfxfxf,即)(xf严格上凸.若有,0)(xf上式中)(2)()(,0021xfxfxf,即)(xf严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若,0)(xf则有)(xf↗↗,不妨设21xx,并设2210xxx,分别在区间],[01xx和],[20xx上应用Lagrange中值定理,有))(()()(),,(10110011xxfxfxfxx,))(()()(),,(02202202xxfxfxfxx.有),()(,2122011ffxxx又由00210xxxx，))((101xxf))((022xxf,)()()()(0210xfxfxfxf，即22)(2)()(21021xxfxfxfxf，)(xf严格下凸.可类证0)(xf的情况.凸区间的分离:)(xf的正、负值区间分别对应函数)(xf的下凸和上凸区间.2.4.3曲线的拐点:拐点的定义.例8确定函数2)(xxexf的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为),,(),21()(22xexfx2)32(2)(2xexxxf.令0)(xf,解得23,0,23321xxx.在区间),23(,)23,0(,)0,23(,)23,(内f的符号依次为,,,，.拐点为:.23,23,)0,0(,23,232323ee倘若注意到本题中的)(xf是奇函数,可使解答更为简捷..3函数的最值:设函数)(xf在闭