关于布里渊区

1.4倒易点阵和布里渊区(Reciprocallattice;Brillouinzones)一.定义二.倒易点阵和晶体点阵的关系三.倒易点阵的物理意义四.倒易点阵实例五.布里渊区一.定义：假设是一个晶格的基矢，该点阵的格矢为：原胞体积是：现在定义另一晶格的3个基矢：，它们与的关系满足：123,,aaa123()aaaΩ=×i123111nRnanana=++123,,bbb123,,aaa2iiijabπδ⋅==2,ijπ=0,ij≠,1,2,3ij=则称这两种格子互为正倒格子。若基矢的格子为正格子，则的格子就是倒格子。反之亦然。123,,aaa123,,bbb位移矢量就构成了倒易点阵。上面变换公式中出现的因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。倒易点阵的概念是Ewald1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。123hklGhbkblb=++2π()()()321213321132321321222aaaaabaaaaabaaaaab×⋅×=×⋅×=×⋅×=πππ证明：1213,baba⊥⊥123bcaa=×11123()2abcaaaπ⋅=⋅×=1232()caaaπ=⋅×2311232()()aabaaaπ×=⋅×3121232()()aabaaaπ×=⋅×3121232()()aabaaaπ×=⋅×同理倒格子的另一种定义二.倒易点阵和晶体点阵之间的关系：倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系：2.两个点阵的格矢之积是的整数倍：1.两个点阵的基矢之间：2π⎩⎨⎧≠===⋅jijiabijijji,0,12δπδ2mnhGRπ=i123123123123()()2()2nhklRGnananahbkblbnhnknlmππ=++++=++=ii（m为整数）3.两个点阵原胞体积之间的关系是：3*123(2)()bbbπΩ=×=Ωi习题1.134.正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)hhh123hhhGhkl123123Ghbhbhb=++且有：1231232hhhhhhdGπ=证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123hhhGhbhbhb=++123()hhh123()hhh123,,aaa123123,,aaahhh13132323aaCAOAOChhaaCBOBOChh=−=−=−=−于是：1231312312313()()220hhhGCAaahbhbhbhhππ=++−=−=∵ii1230hhhGCB=i同理而且都在（ABC)面上，所以与晶面系正交。,CACB123hhhG123()hhh晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于123()hhhGABC⊥12312312312312311223311()2hhhhhhhhhhhhhhhhbhbhbaGdOAhGGGπ++==⋅=i由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶面面间距这2个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说阵点）就能综合地表达出来。利用这一公式可以非常方便地计算面间距12312312312322hhhhhhdGhbhbhbππ==++对于立方格子：123222,,bxbybzaaaπππ===a为晶格常数123222123hhhadhhh=++1113ad=比如：指数小的晶面系，面间距较大HKL222HKLad=++立方晶系：四方晶系：a=b=cHKL22222HKLadac=++HKL2222d,3(HHKK)L4aabcac==≠⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠HKL2221d,HKLabcabc=≠≠⎛⎞⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠六角晶系：正交晶系：习题1.145.正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵给出倒易点阵现假定为正点阵，则其倒易点阵根据定义为：123,,bbb231*2()cbbπ=×Ω23311222131223111222()()(2)(2)(()()bbaaaaaaaaaaaaaππππ×=×××ΩΩ=ו−ו=ΩΩ()()()ABCBACCAB××=−ii利用三重矢积公式：*2312311()(2)()(2)bbbabππΩ⋅Ω=×⋅Ω==ii2111*2(2)caaππ==ΩΩ2233,,caca==同样可以证明：123,,bbb123,,aaa123()aaaΩ=×i*123()bbbΩ=×i可以得到：6.同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性设α为正格子的一个点群对称操作，即当Rn为一正格矢时，αRn也为正格矢，同样α－1Rn也是正格矢。由于2hnGRmπ•=12hnGRmαπ−•=由于点对称操作是正交变换，即保持空间两点距离不变的变换，两矢量受同一点群对称操作作用，其点乘保持不变，即：12hnhnGRGRmααααπ−•=•=这样，对群中任一操作α，αGh和α-1Gh也是倒格矢。这表明正格子和倒格子有相同的点群对称性。正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞，具有布拉维格子的全部点群对称性。因此，倒空间中的WS原胞（第1布里渊区）也具有晶格点群的全部对称性三.倒易点阵（Reciprocallattice）的物理意义：倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。当一个点阵具有位移矢量时，考虑到周期性特点，一个物理量在r点的数值也应该具有周期性：将展开成Fourier级数，有：显然：123123nRnanana=++()Fr()()nFrFrR=+F(r)可以是：格点密度，质量密度，电子云密度，离子实势场()()exp()kFrAkikr=∑i()Fr1()()exp()AkFrikrdrΩ=−Ω∫i其中1()()exp()nAkFrRikrdrΩ=+−Ω∫i'nrrR=+''''''11()()exp(()()exp()exp()()exp()nnnAkFrikrRdrFrikrdrikRAkikRΩΩ=−−=−ΩΩ=∫∫iiii引入()(1exp())0nAkikR−=i()0Ak=相当于()0Fr=不是我们所要的结果exp())1nikR=i2,nkRmmπ=i为整数123,,,hklkGhbkblbhkl==++为整数或者与布拉维格子有相同平移对称性的物理量的Fourier展开中，只存在波矢为倒格矢的分量，而其它分量系数为0。或者说，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从Fourier变换关系。()()exp()hklhklhklGFrAGiGr=∑i1()()exp()hklhklAGFriGrdrΩ=−Ω∫i实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。因此，正格子的量纲是长度l,称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1,下面我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我们通过具体实例来理解：根据定义，四.倒易点阵实例：()()()321213321132321321222aaaaabaaaaabaaaaab×⋅×=×⋅×=×⋅×=πππ2iiijabπδ⋅==2,ijπ=0,ij≠,1,2,3ij=或者Reallatticekx1维a,2/bbaπ=1a2a1b2b左图是一个二维斜方点阵和它的倒易点阵，1221,,baba⊥⊥22112baabπ==ii12210baba==ii2维aaaa34πa3RealspaceReciprocalspaceRealandreciprocallatticesappeartoberotatedfromoneanother!4π“Graphene”简立方点阵：123,,aaiaajaak===倒易点阵仍是简立方点阵：123222,,,bibjbkaaaπππ===三维a1a2a3b1b2b3正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了一个角度。12342,3bbbcaππ===123,aaaac===习题1.12正格子空间中长的基矢a3对应于倒格子空间短的基矢b3，反之亦然。推广，正格子空间长的线条对应于倒格子空间短的线条。正点阵为简单点阵，倒易点阵也是简单点阵。正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵。而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。（具体证明见习题1.11)xzya3a1a2ReciprocalLatticetoBCCLatticeCrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3/2)ˆyˆxˆ(2aa;)ˆyˆxˆ(2aa;)ˆyˆxˆ(2aa321zzz−+=+−=++−=ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:FCClattice)yˆxˆ(a2b;)xˆzˆ(a2b);zˆyˆ(a2b321+=+=+=πππ第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。五.布里渊区：布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。由于布里渊区界面是某倒格矢的垂直平分面，如果用表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空间矢量，它必然满足方程：Gk212kGG=i该方程称作布里渊区的界面方程正方点阵布里渊区第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的正方倒格子布里渊区构造动画正方倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画六角倒格子六角倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画简立方（sc）a1a2a3b1b2b3简立方（sc）倒格子布里渊区见黄昆书图4－24(p194)sc:布里渊区的高对称点:(0,0,0):(1,0,0):(1,1,1)XaRaππΓfcc正格子xyza3a1a2CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3/4)yˆxˆ(2aa;)xˆˆ(2aa;)ˆyˆ(2aa321+=+=+=zzReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:BCClattice)zˆyˆxˆ(a2b;)zˆyˆxˆ(a2b);zˆyˆxˆ(a2b321−+=+−=++−=πππfcc格子的倒格子（bcc）及布里渊区a4πFcc倒格子布里渊区面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区XΓLKXXUWKzKyKxfcc:布里渊区的高对称点1stBrillouinZone:(0,0,0)2:(1,0,0)2111:(,,)222233:(,,0)44XaLaKaπππΓbcc正格子•Rhombohedronprimitivece