考研高数数学讲义

1第一篇高等数学第一章函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0sinlim1xxx，1lim1exxx.函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质.【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.2二、知识网络极限概念“N”定义“X”定义“”定义极限性质唯一性有界性保号性数列整体有界函数局部有界极限存在准则两个重要的极限函数的连续性用导数的定义带皮亚诺余项的泰勒公式用函数极限求数列极限用定积分定义求某些和式的极限利用级数相关理论求极限(数一、三)洛必达法则等价无穷小替换00型、型型、0型1、0、00型初等函数的连续性分段函数连续性的判定闭区间上连续函数的性质第一类——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在跳跃间断点可去间断点求极限的主要方法无穷小量无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小量的运算性质无穷小量与极限的关系无穷小量的比较连续的概念间断点的分类转换极限连续性函数有界性定理零点定理最值定理介值定理有界性、单调性、奇偶性、周期性极限四则运算法则变量替换1lim1nnen0sinlim1xxx单调有界数列有极限夹逼定理3三、基本内容(一)函数1．定义设x与y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作()yfx．数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素.2．几种特性(1)有界性设函数()yfx在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个xX，都有()fxM成立，称()yfx在X上有界，否则，即这样的M不存在，称()fx在X上无界．所以函数在X上无界，是对任何0M，总存在0xX，使0()fxM．(2)单调性设函数()yfx在区间I上有定义，若对于I上任意两点1x与2x，当12xx时，均有12()()fxfx[或12()()fxfx]，称函数()fx在区间I上单调增加(或单调减少)．如果其中的“”(或“”)改为“≤”(或“≥”)，称函数()fx在I上单调不减(或单调不增)．(3)奇偶性设函数()yfx的定义域为(,)(0)aaa，若对于任一x(,)aa，都有()()fxfx，称()fx为偶函数，如常数2,,cosCxx等，其图像关于y轴对称;若对于任一(,),xaa都有()()fxfx，称()fx为奇函数，如3,,sinxxx等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性对函数()yfx，若存在常数0T，使得对于定义域内的每一个,xxT仍在定义域内，且有()()fxTfx，称函数()yfx为周期函数，T称为()fx的周期．3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数设函数()yfu的定义域为fD，函数()ux的值域为z，若集合fD与z的交集非空，称函数[()]yfx为函数()yfu与()ux复合而成的复合函数，u为中4间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数设函数()yfx的值域为fz，定义域为fD，则对于每一个fyz必存在fxD使()yfx．若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数()xy，且()fyy，称()xy为()yfx的反函数，但习惯上把()yfx的反函数记作1()yfx．y()fx与其反函数1()yfx的图像是关于直线yx对称的．(4)隐函数设有方程(,)0Fxy，若当x在某区间内取任一值，便总有满足该方程唯一的值y存在时，称由方程(,)0Fxy在上述区间内确定了一个隐函数()yyx．(5)分段函数若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律，如(),()(),xaxbfxxcxd称为分段函数．(二)极限1．概念(1)定义1设()yfx在0x的一个去心邻域010001(,)(,)xxxx内有定义，若对于任意给定的0，总存在0，使得当上述去心邻域内任意x满足00xx时，不等式()fxa恒成立，则称常数a为函数()fx在0xx的极限，记作0lim().xxfxa或()fxa(当0xx)．直观地说，即当x无限趋近0x时，函数()fx无限趋近常数a．定义2设()fx在区域0xE内有定义，若对于任意给定的0，存在0M，使得当xME时，不等式()fxa恒成立，则称a为当x时函数()fx的极限，记作lim().xfxa直观地说，即当x无限增大时，函数无限趋近常数a．(2)左极限与右极限在定义1中，若把“00xx”改为“00xxx”，即自变量x从0x的左侧趋近于0x，则称a为函数()fx当0xx时的左极限，记作00lim()(0);xxfxafxa或相应把定义1中的“00xx”改为00xxx，a便是函数()fx当0xx时5的右极限，记作00lim()(0).xxfxafxa或极限存在的充分必要条件：当0xx时，函数()fx的极限存在的充分必要条件为其左、右极限存在并相等，即00(0)(0)fxfx.在定义2中，把xM改为xM，便得到x时函数()fx的极限的定义，即lim(),xfxa以及把“xM”改为xM，便得到lim()xfxa的定义.注把数列nx看作整数函数即()nxfn(1,2,)n，则数列极限的概念limnnxa便是()fx在x时极限的特殊情况：自变量x取正整数.即对于任意给定的0，总存在正整数N，使当nN时，不等式nxa恒成立，则称常数a为数列nx的极限，也称此数列收敛于a.2.性质(1)唯一性在自变量的一个变化过程中(0xx或x)，函数的极限存在，则此极限唯一.(2)有界性若0lim()[lim()]xxxfxafxa或，则存在0x的某去心邻域(或0xM)，()fx在此邻域(或0xM)内有界.(3)保号性设0)lim()xxfxa(x，0()lim()xxxgxb，若在0x的某去心邻域(或0xM)内恒有()()fxgx(或()()fxgx)，则ab.3.极限存在准则夹逼准则：若在x的某去心邻域(或0xM)内恒有()()()gxfxhx，且000()()()lim()lim()lim().xxxxxxxxxgxhxafxa，则单调有界准则：单调有界数列必收敛.4.两个重要极限(1)0sinlim1.xxx(2)1lim1xxex或10limxxxe（1+）.5.极限的运算设在自变量的同一变化过程中(0xx或x)，lim(),lim()fxagxb，则有6(1)和差：lim()()lim()lim()fxgxfxgxab.(2)积：lim()()lim()lim()fxgxfxgxab.特别地，lim()lim()cfxcfxca(其中c为常数)，lim()lim()kkkfxfxa(其中k为正整数).(3)商：若lim()0gxb，则()lim()lim()lim()fxfxagxgxb.(4)复合函数的运算法则：已知000lim(),lim()uuxxfuAxu在有意义的情况下，0lim[()]xxfx.A6.无穷小量与无穷大量(1)无穷小量的概念若0()lim()0xxxx，称()x为0xx(x)时的无穷小，即极限为0的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数0也是无穷小.(2)无穷小量的性质0lim()xxfxa(x)的充分必要条件为()()fxax，其中()x为0xx(x)的无穷小.(3)无穷小量的运算1°加法：有限多个无穷小的和仍为无穷小;2°乘法：有限多个无穷小的积仍为无穷小;3°有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小.(4)无穷小量的比较设()x与()x都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且()lim()xx也是在此变化过程中的极限：若()lim0()xx，称()x是比()x高阶的无穷小，记作()(())xox;若()lim()xx，称()x是比()x低阶的无穷小;若()lim0()xcx(其中c为常数)，称()x与()x是同阶的无穷小;7特别()lim1()xx，称()x与()x是等价无穷小，记作()~()xx.在求极限过程中，有时利用等价无穷小代换可以化简计算，所以应掌握几个常见的等价无穷小：当0x时，sin~~tanxxx，ln(1)~xx，1~xex，111~nxxn，211cos~2xx等等.(5)无穷大量的概念设函数()fx在0x的某一去心邻域内有定义(或x大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数(或正数X)，只要x适合不等式00xx(或xX)，对应的函数值()fx总满足不等式()fxM，则称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷大量，以下简称无穷大.(6)无穷小量与无穷大量之间的关系在自变量的同一变化过程中，若()fx为无穷大，则其倒数1()fx必为无穷小;反之，若()fx为无穷小，且()0fx，则其倒数1()fx必为无穷大.7.洛必达(L’Hospital)法则(1)00型(),()fxgx在点0x的某去心邻域内可导，()0gx，若0lim()xxfx0lim()xxgx0，且0()lim()xxfxgx存在或为，则有00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.(2)型(),()fxgx在点0x的某去心邻域内可导，()0gx，若0lim()xxfx0lim()xxgx，且0()lim()xxfxgx存在或为，则有00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.(三)连续1.函数的连续性(1)连续性的概念设函数()yfx在点0x某邻域内有定义，若当自变量增量x0xx0时，对应的函数值增量00()()0yfxxfx，即0li