2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)

超级狩猎者整理第1页共15页2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若2120lim1xxxeaxbx，则（）（A）1,12ab（B）1,12ab（C）1,12ab（D）1,12ab【答案】(B)【解析】由重要极限可得22222220112200111lim2101limlim1(1)lim1(1)xxxxxxxxxxeaxbxeaxbxxxeaxbxxxeaxbxeaxbxeaxbxe，因此，222222001()12lim0lim0xxxxxaxbxxeaxbxxx22201()(1)()12lim00,102xaxbxxabx或用“洛必达”：2(1)200012212lim0limlim0222xxxbxxxeaxbxeaxbeaaxx，故1,12ab，选（B）.2.下列函数中在0x处不可导的是（）（A）()sinfxxx（B）()sinfxxx（C）()cosfxx（D）()cosfxx【答案】(D)超级狩猎者整理第2页共15页【解析】根据导数定义，A.000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxx，可导；B.000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxx,可导；C.20001cos1()(0)2limlimlim0xxxxxfxfxxx，可导；D.200011cos122limlimlimxxxxxxxxx，极限不存在。故选（D）.3.设函数1,0()1,0xfxx，2,1(),10,0axxgxxxxbx　　　，若()()fxgx在R上连续，则（）.（A）3,1ab（B）3,2ab（C）3,1ab（D）3,2ab【答案】（D）【解析】令1,1()()()1,101,0axxFxfxgxxxxbx　　　，则(1)1,(0)1,FaFb(10)2,(00)1,FF因为函数连续，所以极限值等于函数值，即12,113,2abab，故选（D）.4.设函数()fx在[0,1]上二阶可导。且10()0fxdx，则（）（A）当()0fx时，1()02f（B）当()0fx时，1()02f（C）当()0fx时，1()02f（D）当()0fx时，1()02f【答案】（D）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为012x。将函数()fx在012x处展开，有超级狩猎者整理第3页共15页2111()1()()()()()2222!2ffxffxx，其中12x。两边积分，得1112000111()10()()()()()2222!2ffxdxffxdxxdx1201()1()()22!2ffxdx，由于120()1()0()02!2ffxxdx，所以1()02f，应选（D）.【解析二】排除法。（A）错误。令1()2fxx，易知10()0fxdx，()10fx，但是1()02f。（B）错误。令21()3fxx，易知10()0fxdx，()20fx，但是1()02f。（C）错误。令1()2fxx，易知10()0fxdx，()10fx，但是1()02f。故选（D）.5.设2222(1)1xMdxx，221xxNdxe，22(1cos)Kxdx，则（）（A）MNK（B）MKN（C）KMN（D）KNM【答案】（C）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。22222222222(1)122(1)111xxxxMdxdxdxxxx，2222(1cos)1Kxdxdx，令()1,(,)22xfxexx，则()1xfxe，当(,0)2x时，()0fx，当(0,)2x时，()0fx，故对(,)22x，有()(0)0fxf，因而超级狩猎者整理第4页共15页11xxe，222211xxNdxdxe，故KMN。应选（C）.6.22021210(1)(1)xxxxdxxydydxxydy（）（A）53（B）56（C）73（D）76【答案】（C）【解析】还原积分区域，如图所示：积分区域D关于y轴对称，被积函数中xy关于x是奇函数，所以22021210120(1)(1)7(1)(2)3xxxxDDdxxydydxxydyxydxdydxdyxxdx，故选（C）。7.下列矩阵中阵，与矩阵110011001相似的是（）（A）111011001（B）101011001（C）111010001（D）101010001【答案】（A）超级狩猎者整理第5页共15页【解析】记矩阵110011001H，则秩()3rH，迹()3trH,特征值1（三重）。观察,,,ABCD四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2rEH,()2rEA，()1rEB()1rEC,()1rED。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kEX相似（k为任意常数），从而()()rkEArkEX），故选（A）,8.设,AB是n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，(,)XY表示分块矩阵，则（）（A）(,)()rAABrA（B）(,)()rABArA（C）(,)max{(),()}rABrArB（D）(,)(,)TTrABrAB【答案】（A）【解析】把矩阵,AAB按列分块，记1212(,,),(,,)nnAAB，则向量组12,,n可以由向量组12,,n线性表出，从而12,,n与12,,n，12,,n，等价，于是(,)()rAABrA，故选（A）。,二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.若2lim[arctan(1)arctan]xxxx。【答案】1.【解析】【方法一】由拉格朗日中值定理可得21arctan(1)arctan,1xx其中1,0xxx，可知2221111(1)11xx，而2222limlim11(1)1xxxxxx，根据夹逼定理可得，222lim[arctan(1)arctan]lim11xxxxxx。【方法二】0型未定式的极限必须化成商式。超级狩猎者整理第6页共15页22arctan(1)arctanlim[arctan(1)arctan]limxxxxxxxx32222322111[1(1)(1)]1(1)1limlim22(1)[1(1)]xxxxxxxxxx432212lim12(1)[1(1)]xxxxx。10.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为。【答案】43yx.【解析】函数的定义域为(0,)，22yxx，222yx；34yx。令0y，解得1x，而(1)0y，故点(1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率(1)4y，所以切线方程为43yx。11.2543dxxx；【答案】1ln22。【解析】2555111131lnln243231212dxxdxxxxxx。12.曲线33cossinxtyt，在4t对应处的曲率。【答案】23。【解析】有参数方程求导公式可知223sincostan3cossindytttdxtt，22222(tan)sec3cossin3cossindyttdxtttt，超级狩猎者整理第7页共15页故曲率22332222sec3cossin13cossin(1)(1tan)tyttKttyt，代入4t，可得423tK。13.设函数(,)zzxy由方程1lnzzexy确定，则1(2,)2zx。【答案】14。【解析】方程两边同时对x求导，得11zzzeyzxx，将12,2xy代入原方程可得1z，整理可得1(2,)214zx。14.设A为3阶矩阵，123,,为线性无关的向量组，11232A，2232A，323A，则A的实特征值为。【答案】2.【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121AAAA，令123200(,,),111121PC,则APPC,P可逆，故A相似于C，A于C有相同的特征值。2200111(2)(23)0121EC解得矩阵的实特征值为2。超级狩猎者整理第8页共15页1()112()1144()22PCPCPC,三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2arctan1xxeedx.【解析】221arctan1arctan12xxxxeedxede22222222311arctan1arctan122111arctan1221(1)11arctan1122111arctan1(1)11222111arctan1(1)1262xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeeededeeeeeeeedeeeededeeeeeC16.（本题满分10分）已知连续函数()fx满足200()()xxftdttfxtdtax（I）求()fx；（II）若()fx在区间[0,1]上的平均值为1，求a的值。【解析】令uxt，则dudt，从而0000()()()()()xxxxtfxtdtxufuduxfuduufudu，原方程化为2000()()()xxxftdtxfuduufuduax，等式两边对x求导，得0()()2xfxfuduax，且(0)0f，由于()fx连续，可知0()xfudu可导，进而有()fx可导。上式再求导可得()()2fxfxa。由一阶线性微分方程的通解公式可得超级狩猎者整理第9页共15页()(2)xxfxeaeC，将(0)0f代入，解得2Ca，于是有()2(1)xfxae。（II）根据题意可知1011()10fxdx，将()2(1)xfxae代入，可得2ea。17.（本题满分10分