高等代数第一学期试卷及答案(A)

数学与应用数学《高等代数》第一学期期末考试试卷（闭卷A卷）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1.若123123123aaabbbmccc，则111122223333253253253acbbacbbacbb().A．30mB.-15mC．6mD.-6m2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是().A．∣A∣=0B.r（A）nC.A是满秩矩阵D.A是退化矩阵3．下列说法不正确的是().A．任何一个多项式都是零次多项式的因式B.如果f(x)∣g(x)，g(x)∣h(x)，则f(x)∣h(x)C.如A是n阶矩阵，则()()()()AEAEAEAED.如A是n阶矩阵，则mkkmAAAA4.设向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关，则().A．α一定能由β,γ,δ线性表示B.δ一定能由α,β,γ线性表示C.β一定不能由α,γ,δ线性表示D.δ一定不能由α,β,γ线性表示5.对于n元方程组，下列命题正确的是().A．如果0Ax只有零解，则Axb也只有零解B.如果0Ax有非零解，则Axb有无穷多解C.如果Axb有两个不同的解，则0Ax有无穷多解D.Axb有唯一解的充分条件是()rnA二、填空题（每空2分，共20分）1.若A=321•（4,5,6），则∣A∣=.2.f(x)=1-xx34，则）x（f）5（=3．p(x)是不可约多项式，对于任一多项式f(x)，已知p(x)f(x)，则（p(x),f(x)）=.4.已知∣A∣=4521-01113011-2101，则A12-A22+A32-A42=__.5.设A=300020001，（1A）*是1A的伴随矩阵，则（1A）*=．6.若(1,0,5,2)T1α,(3,2,3,4)T2α,3,1,,3Tt3α线性无关，则t.7.设ɑ=（0,1，-1），β=（1,0,-2）,则向量组ɑ,β的秩=.8.设f(x)R[x],degf(x)≤2,且f(1)=1，f(-1)=2，f(2)=0,则f(x)=.9.一个n阶矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩=.10.设3阶矩阵A的伴随矩阵为*A，∣A∣=1，则∣-2*A∣=．三、计算题（每小题10分，共50分）1.问k,m,n满足什么条件时,x2+kx+1能整除x3+mx+n.2.计算行列式0001200034123760458700698的值.3．设A=120130004，求1A4.求齐次线性方程组1234123412340253207730xxxxxxxxxxxx的基础解系和通解5.设,4321,6063324208421221bA求矩阵A及矩阵),(~bAA的秩.四、证明题（每小题10分，共20分）1.设列矩阵TnxxxX),,,(21满足,1XXTE为n阶单位矩阵,,2TXXEH证明H是对称矩阵.2.已知123,,线性无关，证明12.23,23,123线性无关.《高等代数（一）》（闭卷A卷）答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1.D2.C3.A4.B5.C二、填空题（每空2分，共20分）1.0；2.0；3．1；4.0；5.210003100061；6.21；7.2；8.31-x23x613-2；9.n；10.-8.三、计算题（每小题10分，共50分）1.解：用x2+kx+1除x3+mx+n，商式是x-k余式是（k2+m-1）x+（k+n）…………………4分所以x3+mx+n=（x2+kx+1）（x-k）+[（k2+m-1）x+（k+n）]x2+kx+1整除x3+mx+n的充要条件是（k2+m-1）=0且（k+n）=0…………………4分n=-k，m=1-k2…………………2分2.解：230001212000000343400011237676123045878704500698980061231204534006240…………………4分…………………2分此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给满分，不全对者酌情给分！3．解：令A=2100AAA1=4,A2=1213…………………4分（4-1）=41，32-1-112131-…………………4分1A=32-01-100041…………………2分此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给满分，不全对者酌情给分！4.解：对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩阵，有111125327731111107540141081111075400002310775401770000A…………………4分得13423423775477xxxxxx，…………………4分所以基础解系为12237754,771001…………………4分通解为12112234xxxccxx，12,ccR…………………2分5.解：46063332422084211221~A141312322rrrrrr13600512000240011221…………………4分2423232rrrrr100005000001200112213425rrr00000100000120011221…………………4分.3)~(,2)(ArAr…………………2分五、证明题（每小题10分，共20分）证明THTTXXE)2(TTTXXE)(2……………4分TXXE2,H……………4分由对称矩阵的定义可知H是对称矩阵.……………2分2.证明：设112223312323,,，则123123201,,,,311011…………………4分令123,,B，123,,A，201311011k，则上式可写为BAk，而20131110011k，所以k可逆…………………4分所以RRBA，又知123,,线性无关，所以12.23,23,123线性无关。…………………2分此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给满分，不全对者酌情给分！