结构力学位移法的计算

1第八章位移法§8-5支座移动，温度变化及具有弹性支座结构的计算§8-1位移法的基本概念§8-2等截面直杆的刚度方程§8-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算§8-4对称结构的简化计算§8-6带有斜杆刚架的计算§8-7剪力分配法23§8-1位移法的基本概念一.位移法的基本概念1.位移法的基本未知量llEIEIBABC如上图所示的连续梁，取结点B的转角位移作为基本未知量，这就保证了AB杆与BC杆在B截面的转角位移的连续协调()。BBBLBRq选取结构内部结点的转角位移或结点之间的相对线位移作为位移法的基本未知量。42.位移法求解的基本步骤20,8FFBABCqlMM。FBCMCBABC0B2）令B结点产生转角()。此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角的单跨超静定梁。BB1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）()。附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩。FBCM锁住qq500BBABCMMM，。2338BABBCBqlMiMi，。3）杆端弯矩的表达式:由结点B的力矩平衡条件，可得:4）建立位移法方程，并求解:EIilACBiiB3BiAiBBBCi3BiB放松65）作弯矩图:22222233,48163816816BABBCBqlqlMiiiqlqlqlqlMi。2()48Bqli223306088BBBqlqliii，。将求得的代入杆端弯矩表达式，得到：BM图ABC2332ql216ql71）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条件。3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系。为了顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。小结：8二.位移法的基本未知量的确定不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是因为：1）为了减少人工计算时基本未知量的数目；2)单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移（转角位移，相对线位移）的影响，如下图所示。2,08FFABBAqlMM。22,1212FFABBAqlqlMM。ABAB位移法的基本未知量是结构内部的刚结点（不包括支座结点）的转角和独立的结点之间的相对线位移。ijqq94,2ABABAAMiMi。3,0ABABAMiM。为了减少人工计算时基本未知量的数目，在采用位移法求解时，确定结构的基本未知量之前，引入如下的基本假设：对于受弯杆件，忽略其轴向变形和剪切变形的影响。BA/iEIlAAB/iEIlA亦即假定杆件在轴向是刚性的，杆件在发生弯曲变形时既不伸长也不缩短。10ABCDEABC1BZABCD2CZ1．刚结点的转角位移的基本未知量的确定：iKZ似乎看起来比较容易。1BZ1BZ2CZ结构内部有多少个刚结点就有多少个结点的转角位移被确定为基本未知量，增加附加刚臂。结点的转角位移的基本未知量的数目就是个。i只限制转角位移11从两个不动点（没有线位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其交点没有线位移。采用位移法求解的基本未知量的数目=结构中独立的结点之间的相对线位移jKLZ结构内部刚结点的转角位移iKZ+采用增加附加链杆的方法确定独立的结点之间的相对线位移的基本未知量。jKLZ2．独立的结点之间的相对线位移的基本未知量的确定：jKLZ只限制相对线位移若一个结构须要附加根链杆才能使所有内部的结点成为不动点（没有任何结点之间的相对线位移发生），则该结构中独立的结点之间的相对线位移的基本未知量的数目就是个。jjij12增加附加链杆：4BHZ5CHZ1BZABCDEABCD1BHCHZEA=有限值ABCDEAABCD3DZ2CZ1BZ2BHZ当BD杆：EI无限大？2CHZ1BHZ13§8-2等截面直杆的刚度（转角位移）方程一.符号规则:1．杆端弯矩:规定杆端弯矩顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩具有双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉侧。MBAMCBABCMBC14规定结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3．杆件两端的相对线位移:ikBAABABlABCDFPBC2．结点的转角位移:i杆件两端的相对线位移的正负号与弦转角β的正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向为负。ikABABABl151.两端固定的梁:()二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程EIilABABEIABlABEIMABMBAlABABAiB2ABBMi4BABMiBAiB4ABAMi2BAAMiA6ABBAABiMMlABiMABMBAAB16642;ABABABiMiil624BAABABiMiil。642624ABABBAABiMiiliiiMl式中系数4i、2i、6i/l称为刚度系数，即产生单位杆端位移所需施加的杆端弯矩。由上图可得：可以写成为：上式就是两端固定的梁的刚度（转角位移）方程。172.一端固定，一端滚轴支座的梁:33;0ABAABBAiMiMl。BAABEIAlEIilABMBAi3ABAMiABAi3ABiMlAB183.一端固定，一端定向滑动支座的梁：,ABABAAMiMi。BAEIMABMBAAEIil194.等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。64ABAABiMil62BAAABiMil1)EIilBAMABMBAAABBAEIilMABMBAABA20ABAMiBAAMi33ABAABiMilEIilBAMABMBAA3)2)BAAMABEIilMBAABEIilABMABAEIilABABMABA211.两端固定的梁：,88FFPPABBAFlFlMM。三.固端弯矩22,1212FFABBAqlqlMM。FPAB/2l/2l8PFl8PFl8PFl单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。qABl212ql224ql212ql222.一端固定，一端可动铰支座的梁:2,08FFABBAqlMM。3,016FFPABBAFlMM。ABl216qlq28qlFPBA/2l/2l532PFl316PFl233.一端固定，一端滑动支座的梁:22,36FFABBAqlqlMM。,22FFPPABBAFlFlMM。各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABlFP2PFl2PFlqABl23ql26ql2428FABqlM28FBAqlM四.正确判别固端弯矩的正负号:28FABqlM28FABqlMqABlABlqBAqlqBAl25§8-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算一.采用位移法求解无侧移的刚架有两种建立位移法方程的方法：1）直接列方程法：直接利用平衡条件建立位移法的典型方程。2）典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。26解：例8-3-1采用位移法求作图示刚架的M图，已知各杆的EI相同。1.直接列方程法:直接利用结点的力矩平衡条件来建立位移法的一般方程。1）确定基本未知量为：θB和θD()()4EIi4m4m4mABCDEiiii27a)由于荷载引起的固端弯矩0B0D2）列出杆端弯矩的表达式:10.6742.6721.33228442.6733FDEqlM，228421.3366FEDqlM。228410.67,1212FBDqlM228410.671212FDBqlM。10.678kN/mABCDEiiii28b)由于θB产生的杆端弯矩4EIiθB0D4BABMi，4BDBMi，2ABBMi。2DBBMi。ABCDEiiii29ABCDEiiii4EIi0BDc)由于θD产生的杆端弯矩2BDDMi，4DBDMi。3DCDMi，0CDM。EDDMi。DEDMi，3044210.67BABBDBDMiMii，。32410.6742.67DCDDBBDDEDMiMiiMi，，。2ABBMi。21.33EDDMi。叠加以上三种情况下的杆端弯矩，其表达式为:313）建立位移法方程，并求解：0,BM0,BABDMM0,DM0,DBDCDEMMM由结点B和结点D的平衡条件，可得：8210.670,BDii2832.000BDii，120.356/()Bi。3.911/()Di。MDBMDCMDEDMBDMBAB324）作弯矩图：0.71ABMKNm1.42BAMKNm1.42BDMKNm27.02DBMKNm11.73DCMKNm38.76DEMKNm25.24EDMKNm0.711.7827.0225.2438.761.4211.73M图()KNm将求得的代入杆端弯矩表达式，得：θB，θD4m4m4mABCDEiiii8kN/m332.典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。解:1）确定基本未知量的个数，并选取基本体系:容易确定此刚架只有两个结点的转角位移为基本未知量：和，选取基本体系如下图所示。1BZ2DZABCDEiiii10BZ20DZ基本体系342）列出位移法的典型方程：1111221211222200PPrZrZRrZrZR，。3）计算系数和自由项：10.6742.6721.3310.67MP图R1PR2P10.670R1PBR1P=10.67D0R2P10.6742.67R2P=32i）作出基本体系的图，图，图：PM1M2MABCDEiiii8kN/m352i4i2i4ir11r2111BZ20DZ0r21D2ir21=2i04i4ir11Br11=8i21DZ10BZ2ii4i3ii1M图r12r222M图2i0r12Br12=2i3ir22D4ir22=8iiABCDEiiiiABCDEiiii36ii）求方程中的系数和自由项：1122PMMZMZM4）回代入方程中，求解得：10.356/()BZi。23.911/()DZi。5）采用叠加法作弯矩图：如前图所示。r11=8i，r12=r21=2i，r22=8i，R1P=10.67，R2P=32.00。12128210.670,2832.000iZiZiZiZ。37111122121122220,0PPrZrZRrZrZR。r11=8i，r12=r21=2i，r22=8i，12128210.670,2832.000iZiZiZiZ。上述刚度系数实质上是刚结点附加转动约束上产生的反力矩。由于原结构并没有附加转动约束，各附加转动约束上的反力矩之和应等于零。据此可以建立位移法典型方程。位移法典型方程的物理意义：刚结点处附加转动约束上的反力矩之和等于零。所以，方程右端恒等于零。位移法典型方程的实质是力的平衡方程。1122PMMZMZMR1P=10.67，R2P=32.00。总结:381.直接列方程法:利用平衡条件建立位移法