中考数学压轴题解题策略(1)等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题解题策略专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6,0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)（如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OP．此时点P的坐标为25(,0)6．图1-2图1-3图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P的坐标为(x,0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．图2-2图2-3图2-4①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得103t(秒).②如图2-2，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM152PCt.在Rt△QMC中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒).③如图2-4，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN.在Rt△PNC中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ，使得画图简洁，计算简练．例❸如图3-1，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．图3-1【解析】我们先用代数法解这道题．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图3-2，由于∠QPA＝∠ABO，所以OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①当AP＝AQ时，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得0m或43m．所以符合条件的点P不存在．②当PA＝PQ时，解方程(2m＋1)2＝5m2，得25m．所以(425,0)P．③当QA＝QP时，解方程m2＋1＝5m2，得12m．所以(1,0)P．图3-2图3-3图3-4我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO的大小是不变的，因此△PQA也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P，点P在点A的右侧，暂时不画y轴（如图3-4）．①如果AP＝AQ，以A为圆心、AP为半径画圆，得到点Q（如图3-5）．因为点Q在y轴上，于是“奇迹”出现了，点A(－1,0)怎么可以在y轴的右侧呢？图3-5图3-6②当PA＝PQ时，以P为圆心、PA为半径画圆，得到点Q，再过点Q画y轴．此时由215mm，解得25m，所以(425,0)P（如图3-6）．请问代数法解得的点(425,0)P在哪里？看看图3-7就明白了．③当QA＝QP时，点Q在AP的垂直平分线上，由于A(－1,0)，所以P(1,0)（如图3-8）．我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．图3-7图3-8例❹如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．图4-1【解析】点P(0,m)在运动的过程中，△APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB，M是BC的中点，所以BD＝CP＝2－m．所以D(2,4－m)．于是我们可以罗列出△APD的三边长（的平方）：22(4)ADm，224APm，2222(42)PDm．①当AP＝AD时，22(4)4mm．解得32m（如图4-2）．②当PA＝PD时，22242(42)mm．解得43m（如图4-3）或4m（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，222(4)2(42)mm．解得23m（如图4-4）或2m（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．图4-2图4-3图4-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图4-2，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PCMBCMBA．因此12PC，32m．②如图4-3，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42mm．解得43m．例❺如图5-1，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，如果△ADE为等腰三角形，求x的值．图5-1【解析】在△ADE中，∠ADE＝∠B大小确定，但是夹∠ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了．本题的已知条件∠ADE＝∠B＝∠C非常典型，由于∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，所以∠1＝∠2．于是得到典型结论△DCE∽△ABD．①如图5-2，当DA＝DE时，△DCE≌△ABD．因此DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．②如图5-3，如果AD＝AE，那么∠AED＝∠ADE＝∠C．由于∠AED是△DCE的一个外角，所以∠AED＞∠C．如果∠ADE＝∠C，那么E与C重合，此时D与B重合，x＝0．③如图5-4，当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．因此8668x．解得72x．图5-2图5-3图5-4