直线和圆综合问题题型分类全面

1第九讲直线和圆问题一、直线与圆（一）直线和圆的位置关系及其特点1.直线和圆相交：直线和圆有两个公共点.2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点.3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点.（二）直线和圆的位置关系的判断几何法：利用圆心0),(CByAxbaO到直线的距离22BACBbAad与半径r的大小来判断.代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式acb42来判断.直线与圆的位置关系相交相切相离图形圆心到直线的距离dacb42（三）相交弦长1.定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长.2.求相交弦长的两种方法几何法：如图，半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________.代数法：若直线bkxy与圆有两个交点),(),(2211yxByxA、，则弦长公式AB=_______________________________________________．或______________________________________________________．3.相交弦中点求法几何法：求出经过圆心与相交弦l垂直的直线方程'l，则'll、的交点即为相交弦中点．代数法：联立直线l和圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，其两根分别为21,xx则相交弦的中点横坐标为2210xxx，再把0x代入直线l的方程求得0y，),(00yx即为中点弦坐标．（四）圆的切线１.圆的切线条数2点在圆内时：___________；点在圆上时：___________；点在圆外时：____________.2.圆的切线方程求法（1）求过圆上一点),(00yx的切线方程求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系可知切线斜率为'k，由点斜式方程求得切线方程.若0k或k不存在，则由图形可以直接求得切线方程．（2）求过圆外一点),(00yx的切线方程求法几何法：设切线方程为点斜式，由圆心到直线距离等于半径求出斜率k，从而求出切线方程．代数法：设切线方程为点斜式，将切线方程代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用0求出k，从而求出切线方程．3.过圆上一点),(00yx的切线方程（1）经过圆222ryx上一点）（00,yxP的切线方程为200ryyxx.（2）经过圆222)()(rbyax上一点）（00,yxP的切线方程为200))(())((rbybyaxax.（3）经过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为0220000FyyExxDyyxx.4.切线长：若圆222)()(:rbyaxC，则过圆外一点),(00yxP的切线长22020)()(rbyaxd.5.切点弦：过圆222)()(:rbyaxC外一点),(00yxP作圆C的两条切线方程，切点分别为BA,,则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax.（五）圆系方程1.以),(ba为圆心的圆系方程是_____________________________________.2.与圆022FEyDxyx同心的圆系方程是___________________________.3.过同一定点),(ba的圆系方程是_________________________________________.4.过直线0CByAx与圆022FEyDxyx的交点的圆系方程是____________________________________________________________.5.过两圆0:,0:222222111221FyExDyxCFyExDyxC的交点的圆系3方程是_________________________________________________________.二、圆和圆（一）圆和圆的位置关系圆与圆之间有几种位置关系？（二）圆和圆的位置关系判断几何法：设两圆的半径分别为12,rr，圆心距为d，比较d和12,rr的大小关系.代数法：由两个圆的方程组成一个方程组消元化为一元二次方程．根据来判断.圆和圆的位置关系内含内切相交外切外离图形两圆圆心的距离dacb42（三）圆与圆的公共弦1.两圆的相交弦所在直线方程的求法设两圆0:111221FyExDyxC和0:222222FyExDyxC相交时，-得0212121FFEEDD若两圆相交，方程表示过两圆交点的直线，即为经过两圆交点的直线方程.提示：当两圆相切时为两圆的公切线方程.2.公共弦长的求法代数法：将两圆方程联立，解出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长.几何法：求出公共弦所在直线方程，求出弦心距，半径，利用勾股定理求出弦长.三、直线与圆的方程的应用坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题．考点一、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系例1：已知动直线5:kxyl和圆1)1(:22yxC，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？4例2：若直线01byax与圆122yx相交，则点),(baP与圆的位置关系是__________.例3：圆0542:2221mymxyxC与圆03222222mmyxyxC：.试问m为何值时，两圆（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含；变式1：圆22221xy＋＝与直线10xsinyq＋－＝),2,(zkkR的位置关系是？变式2：已知点),(baM在圆1:22yxO外，则直线1byax与圆O的位置关系是____________.变式3：已知圆0882:221yxyxC，圆0244:222yxyxC，试判断两圆的位置关系.练习：1.直线34120xy＋＋＝与22()9)11(Cxy：－＋－＝的位置关系是__________.2.直线1xy与圆2220(0)xyaya有公共点，则a的取值范围是多少？3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为()A．0或2B．0或4C．2D．44.圆2220xyx＝和22+40xyy的位置关系是___________.5.圆1C：22()(2)9xmy与圆2C：22(1)()4xym外切，则m的值为多少？6.判断直线:L012)1()1(mymxm与圆922yxO：的位置关系.5考点二、直线和圆相交（一）相交弦长例1：求直线063:yxl被圆042:22yyxC截得的弦长.例2：已知圆C过点)0,1(，且圆心在x轴的正半轴上，直线1:xyl被圆C所截得的弦长为22，求圆的方程.例3：直线3kxy与圆4)2()3(22yx相交于NM,两点,若32MN,则k的取值范围是___________________.变式1：在平面直角坐标系xOy中，直线032yx与圆4)1()2(:22yxC交于A,B两点，求AB及AOB的面积.变式2：设直线30axy与圆22(1)(2)4xy相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a____________．变式3：已知圆4)1()1(:22yxM，直线l过点),3,2(P且与圆M相交于A,B两点,32AB，求.直线l的方程.练习：1.直线32xy被圆08622yxyx所截得的弦长等于多少？2.已知圆02222ayxyx截直线02yx所得弦的长度为4，则a________.3.直线l过点)5,0(Q,被圆:C16)6()2(22yx截得的弦长为34，求直线l的方程.64.直线032yx与圆9)3()2(:22yxC交于E、F两点，则ECF的面积为_______________.5.求与x轴相切，圆心在直线03yx上，且截直线0yx的所得弦长为72的圆的方程.6.直线0323yx截圆224xy+=的劣弧所对的圆心角是______________.（二）中点弦和弦的中点轨迹问题例1：已知圆0126422yxyx内一点)2,4(A，求以为A中点的弦所在直线的方程.例2：过点),1,3(P作圆4)2()2(:22yxM的弦，其中最短的弦长为_________.例3：直线kxy与圆0104622yxyx相交于两个不同点，求中点轨迹方程.变式1：设圆054:22xyxC的一条弦的中点为),1,3(P则该弦所在直线的方程为___________________________________.变式2：过点（1，2）的直线l将圆4)2(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的的方程为.变式3：已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．7练习：1.（1）设直线0132yx和圆03222xyx相交于点AB，，弦AB的垂直平分线的方程为?（2）若点()21P-，为圆()22125xy-+=的弦AB的中点，求直线AB的方程.2.过点)1,2(的直线被圆04222yxyx截得的弦长最短的直线方程是？3.经过原点作圆222440xyxy++-+=的割线l，交圆于AB、两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.4.若直线2yxb=+与圆224xy+=相交于AB、两点，求弦AB的中点M的轨迹.5.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．406（三）直线和圆相交最值问题例1：在圆422yx上，与直线012-34yx的距离最小距离是_________.该点的坐标是．最大距离是___________.该点的坐标是_________________.例2：若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是．例3：若过定点(1,0)M且斜率为k的直线与圆22450xxy在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是．8变式1：已知点),(yxP是圆4)3()3(22yx上任意一点，求到直线062yx的最大距离和最小距离.变式2：在平面直角坐标系xoy中，已知圆224xy上有且仅有四个点到直线1250xyc的距离为1，则实数c的取值范围是___________________.变式3:直线l过点()02A，且与半圆)0(1122yyxC：有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是__________.练习：1.圆122yx上的点到直线02543yx的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．12.设A为圆1)2()2(22yx上一动点，则A到直线05yx的最大距离为______.3.圆222430xyxy＋＋＋－＝上到直线10xy＋＋＝的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.若圆222)5()3(ryx上有且只有两个点到直线234yx的距离等于1，则半径r的取值范围是_________.5.若圆222)5()3(ryx上有且只有两个点到直线234yx的距离等于1，则半径r的取值范围是_________.6.曲线)2|(|412xxy与直线4)2(xky有两个交点时，实数k的取值范围是_____.考点三、直线和圆相切（一）与圆相切的直线方程（点在圆外）例1：自点31M（，）向圆122