第三章非稳态导热

第三章非稳态导热１、重点内容：①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。2、掌握内容：①确定瞬时温度场的方法；②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。§3-1非稳态导热的基本概念1非稳态导热的定义物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。2非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值着重讨论瞬态非稳态导热3温度分布：Dt1t0HCBAEFG4两个不同的阶段非正规状况阶段(右侧面不参与换热)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大正规状况阶段(右侧面参与换热)：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态导热过程的三个阶段二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。5热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量6学习非稳态导热的目的：(1)温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律(2)非稳态导热的导热微分方程式：);),,,(f(Φzyxft)()()(ztzytyxtxtc(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：集总参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟7、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。已知：平板厚、初温、表面传热系数h、平板导热系数，将其突然置于温度为的流体中冷却。20tt由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：1//h（1）th/1这时，由于表面对流换热热阻几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。/1/h（2）/t这时，平板内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。t这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。/1/h（3）与的数值比较接近由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数：1）毕渥数的定义：1hBih毕渥数属特征数（准则数）。2）Bi物理意义：Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。§3-2集总参数法的简化分析1定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。Bi)(ft2温度分布如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。00tt时，t将其突然置于温度恒为的流体中。当物体被冷却时（tt）,由能量守恒可知ddtVctthA-)(dVchAd方程式改写为：过余温度—令：tt，则有00)0(-ttddVchA初始条件控制方程00dVchAdVchAln0dVchAd积分VchAetttt00过余温度比其中的指数：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()(2)()(AVaFoAVhBivvvFo是傅立叶数vvFoBiVchAee0物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：2233Wm1mKkgJkg[m]KmhAwVcJs%8.3610e即与的量纲相同，当时，则1hAVc1VchA此时，上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，用表示。hAVchAVcc0%8.36e10cvvFoBi应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好（h大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/hA)小。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的（微细热电偶、薄膜热电阻）%83.140时，当hAVc工程上认为=4Vc/hA时导热体已达到热平衡状态3瞬态热流量：导热体在时间0~内传给流体的总热量：当物体被加热时(tt)，计算式相同（为什么？）W))(()(0VchAehAhAtthAΦJ)1()(00VchAeVcdΦQ4物理意义vvFoBihlhl1Bi物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻＝无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。22Flola换热时间边界热扰动扩散到面积上所需的时间采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%M1.0)AV(hBiv对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球31M21M1M3BB3RR4R34AV2BB2RR2RAVBBAAAViiv23iiv2iiv5集总参数法的应用条件是与物体几何形状有关的无量纲常数§3-3一维非稳态导热的分析解1.无限大的平板的分析解λ=consta=consth=const因两边对称，只研究半块平壁此半块平板的数学描写：导热微分方程初始条件边界条件xtat22)0,x0(0tt00x0xtx)tt(hxt(对称性)引入变量－－过余温度令t),x(t),x(xhx0x0x00,x0xa022上式化为：用分离变量法可得其分析解为：此处Bn为离散面(特征值)若令则上式可改写为：eannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(e22nan1nnnnn0)xcos(cossinsin2),x(nn*μn为下面超越方程的根为毕渥准则数，用符号Bi表示书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值hctgnnheannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(eannnnnnnxx22)(10)cos()sin()cos()sin(2),(因此是F0,Bi和函数，即0),x(x)x,B,F(f),x(i00注意：特征值特征数（准则数）区别n2.非稳态导热的正规状况对无限大平板当取级数的首项，板中心温度，误差小于1%20aF2.0F0eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0()cos()(),(1xxm与时间无关若令Q为内所传递热量--时刻z的平均过余温度)(00ttcVQ00001)()],([ttcVdVxttcQQVe11021sin)F(11110vcossinsin2dvv1],0[考察热量的传递Q0--非稳态导热所能传递的最大热量对无限大平板，长圆柱体及球：及可用一通式表达i021010210B)Fexp(A)y(f)Fexp(A0无限大平板长圆柱体及球此处此处的A，B及函数见P74表3-220i20iRazFhRBRxyazFhBxy1()fy3正规热状况的实用计算方法－拟合公式法对上述公式中的A，B，μ1，J0可用下式拟合式中常数a,b,c,d见P75表3-3a`,b`,c`,d`见P75表3-4320iicBi1i21x`dx`cx`b`a)x(JbB1cBaB)e1(baA)Bba(),,()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF3正规热状况的实用计算方法－线算图法诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，F00.2时，取其级数首项即可(1)先画),(0BiFofm(2)再根据公式(3-23)绘制其线算图),()cos()(),(1xBifxxm(3)于是，平板中任一点的温度为00mm同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用（3－24）和（3－25）绘制出。解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F00.2§3-4二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体(其截面为的长方形)22122122ft00),,(fftttyxt)(2222yxa10xyxyhx),,(),,(11yyxxhy),,(),,(220),,(00xxyxx0),,(00yyyxy),(),(0),(01)0,(02022hxxxxxxxxaxxx利用以下两组方程便可证明),(),(),,(yxyx及),(),(0),(01)0,(022022hyyyyyyyyayyy即证明了是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题),(),(yx其中其中ffxtttxt0),(ffytttyt0),(0),x(0),v(Rl222123221),(),(),,(PPyxyx321),(),(),(),,,(PPPzyxzyxcPyxyx),(),(),,(限制条件：（1）一侧绝热，另一侧三类（2）两侧均为一类（3）初始温度分布必须为常数§3-5半无限大的物体半无限大物体的概念0tt0xttxtat0w22wtt0tx误差函数：1)(1)(2)(02xerfxxerfxdvexerfxv有限大小时，)(0erf令ax4无量纲坐标引入过余温度24002(4)wxyattxderfae问题的解为误差函数无量纲变量说明：(1)无量纲温度仅与无量纲坐标有关.(2)一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。(3)但解释Fo,a时，仍说热量是以一定速度传播的，这是