平面向量的数量积教案

§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义博白县龙潭中学庞映舟一、教学重难点：1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证；2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；二、教学过程：（一）创设问题情景，引出新课问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义（二）新课：1、探究一：数量积的概念展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型背景的第一次分析：问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？答：实际上是力F在位移方向上的分力，即COSF,在数学中我们给它一个名字叫投影。“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；2、背景的第二次分析：问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?分析：COSSFw用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b=|a||b|cos（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.3、向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.三、例题讲解：例1已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角=60，求a·b解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值）a·b=|a||b|cos=5×4×cos60=5×4×21=10练习1已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，①a与b的夹角为60，②a与b的夹角=00，求a·b；解：由向量的数量积公式得：①a·b=|a||b|cos=8×6×cos60=8×6×21=24①a·b=|a||b|cos=8×6×cos0=8×6×1=48归纳总结：由特殊到一般的数学思想得到：性质（1）当a与b同向时，a·b=ba；练习2已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，当a与b的夹角为090时，求a·b和aa解：根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得：①a·b=|a||b|cos=1×2×cos0=1×2×1=2②a·a=|a||b|cos=1×1×cos0=1×1×1=1归纳总结：⑵特别地aa常记作2a，这时2a=2a；⑶a⊥ba·b=0；四、练习：五、课堂小结：“1+3”一个概念：数量积的定义a·b=|a||b|cos三个性质：1、当a与b同向时，a·b=ba；2、特别地aa常记作2a，这时2a=2a；3、a⊥ba·b=0；六、作业：课本109页练习A，2，练习B，1、2;b30b,2b,12a10aa，求的夹角为与、已知;b45b,4b,25a20aa求的夹角为与、已知