东南大学工程矩阵理论试题及答案

◆工程矩阵理论◆试题一◆答案仅供参考◆张小向@seu1试题一一.(15%)填空题.1.3¡的子空间V={(x,y,z)|x+y-z=0}的一组基是.解:(x,y,z)ÎVÛx+y-z=0Ûx=-y+zÛ(x,y,z)=(-y+z,y,z)=y(-1,1,0)+z(1,0,1),其中(-1,1,0),(1,0,1)是V中线性无关的向量,可见V的一组基是(-1,1,0),(1,0,1).2.若线性空间V的线性变换f在基a,b下的矩阵是1224æöç÷èø,则f在基a+b,a-b下的矩阵是.解:(a+b,a-b)=(a,b)1111æöç÷-èø.f(a,b)=(a,b)1224æöç÷èø.f(a+b,a-b)=f(a,b)1111æöç÷-èø=(a,b)1224æöç÷èø1111æöç÷-èø=(a+b,a-b)11111-æöç÷-èø1224æöç÷èø1111æöç÷-èø=(a+b,a-b)9/23/23/21/2-æöç÷-èø.可见则f在基a+b,a-b下的矩阵是9/23/23/21/2-æöç÷-èø.3.如果n´n矩阵A满足A2=A,并且A的秩为r,则行列式|A+2I|=.解:如果n´n矩阵A满足A2=A,即A(A-I)=O,可见A的极小多项式没有重根,而且特征值只可能是0或1.又因为A的秩为r,所以A相似于对角阵rnr-æöç÷èøIOOO.从而A+2I相似于对角阵rnr-æöç÷èøIOOO+2I=32rnr-æöç÷èøIOOI.故|A+2I|=32rnr-IOOI=3r2n-r.4.若矩阵A=1792æöç÷èø,则矩阵函数eA的行列式|eA|=.解:|lI-A|=1792ll----=l2-3l-61=(l-l1)(l-l2),其中l1¹l2,故存在可逆阵P使得P-1AP=1200llæöç÷èø=L,于是P-1eAP=eL=12e00ellæöç÷èø,|eA|=|P-1eAP|=12eell=12ell+=etrA=e3.5.若a是n维单位列向量,A=I+kaaH是正定的,则参数k满足条件.解:将a扩充成n£的一组标准正交基:a,a2,...,an,并且令Q=(a,a2,...,an),则QHQ=I,aHQ=(1,0,...,0),QHa=(1,0,...,0)H,QHAQ=QH(I+kaaH)Q=I+kQHaaHQ=100010001k+æöç÷ç÷ç÷èøLLMMOML,故A正定ÛQHAQ正定Û1+k0Ûk-1.◆工程矩阵理论◆试题一◆答案仅供参考◆张小向@seu2二.(12%)设矩阵A=12304001aæöç÷ç÷èø,B=1005206cbæöç÷ç÷èø.讨论A的可能的Jordan标准形.并问:当参数a,b,c满足什么条件时,矩阵A与B是相似的.解:当a=1时,|lI-A|=(l-1)3,r(A-I)=2,此时A的Jordan标准形为110011001æöç÷ç÷èø.当a¹1时,|lI-A|=(l-1)2(l-a),A-I=023014000aæöç÷-ç÷èø,r(A-I)={1,8/3;2,8/3,aa=¹当a=8/3时,A的Jordan标准形为100010008/3æöç÷ç÷èø;当a¹8/3时,A的Jordan标准形为11001000aæöç÷ç÷èø.若矩阵A与B相似,则由(l-1)2(l-a)=|lI-A|=|lI-B|=(l-1)(l-2)(l-b)可得a=2,b=1.此时A的Jordan标准形为110010002æöç÷ç÷èø.B-I=00051060cæöç÷ç÷èø由r(B-I)=r(A-I)=2得c¹6/5.此时B的Jordan标准形也是110010002æöç÷ç÷èø.故矩阵A与B相似Ûa=2,b=1而且c¹6/5.三.(20%)记M=1212æöç÷èø,22´£上的变换f定义为:对XÎ22´£,f(X)=XM.1.证明:f是22´£上的线性变换.证明:对于任意的a,bΣ以及任意的X,YÎ22´£,有f(aX+bY)=(aX+bY)M=aXM+bYM=af(X)+bf(Y)Î22´£.故f是22´£上的线性变换.2.求f在22´£的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A.解:f(E11)=E11M=1000æöç÷èø1212æöç÷èø=1200æöç÷èø=1E11+2E12+0E21+0E22;f(E12)=E12M=0100æöç÷èø1212æöç÷èø=1200æöç÷èø=1E11+2E12+0E21+0E22;f(E21)=E21M=0010æöç÷èø1212æöç÷èø=0012æöç÷èø=0E11+0E12+1E21+2E22;f(E22)=E22M=0001æöç÷èø1212æöç÷èø=0012æöç÷èø=0E11+0E12+1E21+2E22,由此可见f在22´£的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A=1100220000110022æöç÷ç÷ç÷èø.◆工程矩阵理论◆试题一◆答案仅供参考◆张小向@seu33.求f的特征值及相应的特征子空间的基.解:|lI-A|=1100220000110022llll--------=l2(l-3)2.故f的特征值为l1=l2=0,l3=l4=3.(0I-A)x=0的一个基础解系为x1=(-1,1,0,0)T,x2=(0,0,-1,1)T.由此可得对应于特征值l1=l2=0的特征子空间的一组基:-E11+E12,-E21+E22.(3I-A)x=0的一个基础解系为x3=(1,2,0,0)T,x4=(0,0,1,2)T.由此可得对应于特征值l3=l4=3的特征子空间的一组基:E11+2E12,E21+2E22.4.问:是否存在22´£的基,使得f在这组基下的矩阵是对角阵?如存在,试给出这样的一组基及相应的对角阵;如不存在,请说明理由.答:令X1=-E11+E12,X2=-E21+E22,X3=E11+2E12,X4=E21+2E22.由第3小题可知f在22´£的基X1,X2,X3,X4下的矩阵为0000000000000202æöç÷ç÷ç÷èø.四.(10%)设A=000121110æöç÷-ç÷-èø,试将AeAt表示成关于A的次数不超过2的多项式.解:|lI-A|=0012111lll---=l(l-1)2,A-I=100111111-æöç÷-ç÷--èø,r(A-I)=2.可见特征值l=1的代数重数为2,几何重数为1.从而可得A的最小多项式为l(l-1)2.设AeAt=c0(t)I+c1(t)A+c2(t)A2,f(x)=xext,g(x)=c0(t)+c1(t)x+c2(t)x2,则0=f(0)=g(0)=c0(t),et=f(1)=g(1)=c0(t)+c1(t)+c2(t),(1+t)et=f¢(1)=g¢(1)=c1(t)+2c2(t),由此可得c0(t)=0,c1(t)=(1-t)et,c2(t)=tet,于是有AeAt=(1-t)etA+tetA2.五.(8%)求A=0010130130æöç÷ç÷èø的广义逆矩阵A+.解:令B=1313æöç÷èø,则B=11æöç÷èø(13),B+=13æöç÷èø11012(11)=1201133æöç÷èø.A+=10++æöç÷èøOBO=01/201/2003/203/201/1000æöç÷ç÷èø.六.(15%)假设V是有限维欧氏空间,wÎV是单位向量,V上的线性变换f定义如下:对任意hÎV,f(h)=h-2áh,wñw.1.证明:f是V上的正交变换.证明:将w扩充成V的一组标准正交基:w,a2,...,an,则f(w)=w-2áw,wñw=-w,f(ai)=ai-2áai,wñw=ai,i=2,…,n.可见f在V的标准正交基w,a2,...,an下的矩阵为正交矩阵diag(-1,1,...,1),故f是V上的正交变换.2.在¡[x]3中定义内积:对j(x),y(x)Ρ[x]3,áj(x),y(x)ñ=10()()dxxxjyò.于是,¡[x]3成为欧氏空间.分别求¡[x]3中向量a=1及b=x的长度,并求正实数k及单位向量wΡ[x]3,使得如上的正交变换f将a变成kb.解:||a||2=áa,añ=á1,1ñ=10dxò=1,故||a||=1.||b||2=áb,bñ=áx,xñ=120dxxò=13,故||b||=13.令k=3,则||kb||=1=||a||.||1-3x||2=á1-3x,1-3xñ=120(13)dxx-ò=2-3.||1-3x||=23-=622-.令w=13||13||xx--=(62)(13)2x+-,则f(a)=kb.◆工程矩阵理论◆试题一◆答案仅供参考◆张小向@seu4七.(20%)证明题.1.假设A是s´n矩阵,U,V分别是s´s,n´n酉矩阵.证明:||A||2=||UAV||2.证明:因为A是s´n矩阵,U,V分别是s´s,n´n酉矩阵,所以(UAV)H(UAV)=(VHAHUH)(UAV)=VHAHAV与AHA相似,因而r[(UAV)H(UAV)]=r(AHA),||A||2=H()rAA=H[()()]rUAVUAV=||UAV||2.2.假设A是n´n正规矩阵.若A的特征值的模都等于1,证明:A是酉矩阵.证明:因为A是n´n正规矩阵,所以A酉相似于对角阵,即存在酉矩阵Q使得QHAQ=diag(l1,l2,…,ln)=L,其中l1,l2,…,ln为A的特征值.又因为|l1|=|l2|=…=|ln|=1,所以LHL=diag(|l1|2,|l2|2,…,|ln|2)=I.于是AHA=(QLQH)H(QLQH)=(QLHQH)(QLQH)=QLHLQH=QQH=I,可见A是酉矩阵.3.假设A=11122122æöç÷èøAAAA是Hermite矩阵,其中Aij是A的子矩阵,并且A11,A22都是方阵.若A是正定的.证明关于行列式的不等式:|A|£|A11||A22|.证明:因为A=11122122æöç÷èøAAAA是Hermite矩阵,A11,A22都是方阵,所以A11,A22都是Hermite矩阵,而且A21H=A12.又因为A是正定的,所以A11,A22都是正定的,从而A11可逆.设A11,A22的阶数分别为m,n,P=11112mn-æö-ç÷èøIAAOI,则PHAP=11H122121112-æöç÷-èøAOOAAAA,其中H122121112--AAAA正定,H1121112-AAA半正定.于是存在n阶可逆阵C使得CHA22C=In,HH1121112-CAAAC=diag(l1,l2,…,ln)=L,HH122121112()--CAAAAC=In-L=diag(1-l1,1-l2,…,1-ln),其中1-l1,1-l2,…,1-ln0,l1,l2,…,ln³0,因而0£li1,01-li£1,i=1,2,...,n.由此可得|HH122121112()--CAAAAC|=|In-L|=1(1)niil=-Õ£1=|CHA22C|,从而有|H122121112--AAAA|£|A22|,|A|=|PHAP|=11H122121112--AOOAAAA=|A11||H122121112--AAAA|£|A11||A22|.◆工程矩阵理论◆试题二◆答案仅供参考◆张小向@seu5试题二一.(10%)求22´£的子空间V1,V2的交空间V1ÇV2及和空间V1+V2的基和维数,其中V1=,xyxyxyìüæöÎíýç÷èøîþ£,V2=,xyxyyxìüæöÎíýç÷--èøîþ£.解:abcdæöç÷èøÎV1ÇV2Ûacbdadbc=ìï=í=-ï=-îÛabcdæöç÷èø=aaaa-æöç÷-èø=a1111-æöç÷-èø,其中O¹1111-æöç÷-èøÎV1ÇV2.可见1111-æöç÷-èø为V1ÇV2的基,dim(V1ÇV2)=1.容易看出A1=1010æöç÷èø,A2=0101æöç÷èø为V1