第三章书后习题答案

第三章控制系统的时域分析法课后部分系统参考答案3-2已知系统的单位脉冲响应为tteetg5.02.0510试求系统的传递函数。解：由于是单位脉冲响应，其单位脉冲响应的拉普拉斯变换等于传递函数，即5.02.06155.02.02.055.0105.052.010ssssssssssGsC3-7设单位反馈控制系统的开环传递函数为11.0100sssG试求当输入信号r(t)=(1+2t+t2)u(t)时系统的稳态误差。解：方法一：根据题意，在输入信号作用下的闭环系统误差传递函数为sRsssssRsssssRsGsE1000101010011.011.01122当输入信号为r(t)=(1+2t+t2)u(t)时，其对应的R(s)=1/s+2/s2+2!/s3。相应的稳态误差为02.00!22110001010limlim32200ssssssssssEessss方法二：采用误差系数方法：01111.0100lim0010rkresssGkpsssp02.0100210011.0100limlim0200vssssvkressssGsk0!2011.0100limlim032002vssssakressssGsk02.00321sssssssseeee3-8已知单位反馈系统闭环传递函数为106.21.525.123401ssssbsbsRsC①在单位斜坡输入时，确定使稳态误差为零的参数b0，b1应满足的条件；②在①求得的参数b0，b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。解：①，根据闭环传递函数可求得单位反馈系统的等效开环传递函数sGsGsssssssbsbssssbsbsRsC11.525.1106.211.525.1106.21.525.122220123401所以，b1=2.6，b0=10。显然，等效开环传递函数为2型系统，由单位斜坡输入可知，误差系数及误差为011.525.1106.2limlim022200vssssvkressssssGsk②，当输入为单位抛物线输入时，系统的稳态误差为1.02101.5!2!21.5101.525.1106.2limlim02220202vssssakressssssGsk3-9系统结构图如图3-45所示。①当r(t)=t，n(t)=t时，试求：系统总稳态误差；②当r(t)=1u(t)，n(t)=0时，试求：σp，tp。解：①，当r(t)=t，n(t)=t时，R(s)=1/s2，N(s)=1/s2，系统总稳态误差为25.014212limlim2200ssssssssEesRsssR25.014212limlim2200ssssssssEesNsssN5.025.025.0ssNssRsseee②，当r(t)=1u(t)，n(t)=0时，R(s)=1/s，N(s)=0，由25.0242422sssss可知，25.022nn解得：20.1778/2n系统的σp，tp为%100%100%22707.01707.01ee3.5355339707.015122npt3-10单位反馈系统的开环传递函数为2242ssssG①求系统在单位阶跃输入信号r(t)=1u(t)作用下的误差函数e(t)；②是否可以用拉普拉斯变换的终值定理求系统的稳态误差，为什么?解：①，系统开环环函数的型别可知，在单位阶跃输入信号r(t)=1u(t)作用下，其误差函数e(t)=0。或0111224limlim0200psssspkressssGk②，不能直接应用拉普拉斯变换的终值定理，因为传递函数是开环传递函数，但当通过开环传递函数写出其对应的闭环传递函数后，可以应用拉普拉斯变换的终值定理。3-11单位反馈系统的开环传递函数为102512sssKsG①当K=1时，求系统在r(t)=1(t)作用下的稳态误差；②当r(t)=l(t)时，为使稳态误差ess=0.6，试确定K值。解：①，K=1时，求系统在r(t)=1(t)作用下的稳态误差为0.911.01111.0102511limlim0200psssspkressssGk②，由题可知0.6101010/1111010251limlim0200KKkreKsssKsGkpssssp6.676/40K3-12已知系统结构图如图3-46所示。①求K=3，，r(t)=tu(t)时的稳态误差ess；②如果欲使ess≤0.01，试问是否可以通过改变K值达到，为什么?解：①，当K=3，r(t)=tu(t)时，系统的稳态误差ess为667.032222limlim0200vssssvkreKsssKssGsk②，因为ess与K成反比，于是有若使01.020Kkrevss则200K但此时，系统的特征方程为：02223Ksss利用劳斯判据得s312s22Ks14-K0s0K于是有要使系统稳定，K值的取值范围是40K因为只有稳定，才能谈得上稳态误差，因此，结论是不能通过改变K值达到。3-13系统结构图如图3-47所示，其中e=r-c，K1，T均大干零。①当K2=0时，系统是几型的?②如果r(t)为单位斜坡函数，试选择K2使系统的稳态误差为零。解：①，当K2=0时，系统是1型的。②，如果r(t)为单位斜坡函数，则稳态误差表达式为sRKTsssKKssRKTsssKKsRssCsRsssEesssRsss1210121000111lim11limlimlimsRKTssKsKKKsTsssRKTssKKTssssRKTssKsKKKsTsssss1121120121011211201lim11lim1lim0111lim111lim121121021210KKKKTssKKTssKTssKKTsssss3-14控制系统的结构图如图3-48所示。①确定该闭环系统的2阶近似模型；②应用2阶近似模型，选择增益K的取值，使系统对阶跃输入的超调量小于15％，稳态误差小于0.12。解：①，根据极点在s平面上的分布可以看出，极点s=-90对系统的影响可以忽略不计，从而使系统由三阶降为二阶系统，其相应的开环传递函数为9110919010ssKsssKsG同样，从开环传递函数的暂态响应也可以看出918811011889109018189109190919010321sKsKsKsAsAsAsssKsG-9t-t-9t-t-90t0.015432e0.014e0.015432e0.014e0.001387eKKtg其闭环传递函数为KssKKssKs10910101091102其中，Knn1091022②，由超调量15%可知，系统的阻尼比为0.5173.671.89715.0ln15.0lnlnln2222则：9.67517.0210210n，8.451092nK因系统为0型系统，于是有：00010109limlim0.121991910pssssprKKkGsesskK6.6106610912.09K45.8K6.63-17设单位反馈系统的开环传递函数为16/13/sssKsG若要求闭环特征方程根的实部均小于-1，试问K应在什么范围取值?如果要求实部均小于-2，情况又如何?解：由题目可知系统的闭环传递函数特征方程为：016/13/Ksss令：s=z+1，相当于纵轴或虚轴向左平移了一段距离，则有：01811819118189186316/13/2323KzzzKsssKsssKsss01828391223Kzzz012182803923Kjj解得：39021；[z][s]Im[z]Re[s]σKs*Kz*249143961828122K同理，如果要求实部均小于-2，则有01821829223Kzzz3-18试确定使图3-49所示控制系统稳定的K，和K2的取值范围。解：sRssKKsssKssKsRssKKsssKssKKsssKsC2221212212211112211111221111221其特征方程为：0112211221ssKKsssK整理后得：022232221221123221KKsKssKsKsss由劳斯判据的必要条件可知：ai0，即：021K；得：21K；221KK，得：02221KK同样，由劳斯判据的充要条件可知：S312+K10s232K1-2(K2)20s16+K1-2(K2)200s02K1-2(K2)20062221KK3-19某单位反馈系统的开环传递函数为1100ssG其中τ=3s，试计算：①τ发生微小变化时．系统的灵敏度；②闭环系统的时间常数。图3-49习题3—18图解：①，系统的闭环传递函数为：1001100ss210011001001100ssss系统的灵敏度为：1001100110010011002sssssssS②，通过对闭环系统传递函数的规范化处理后可知，系统的时间常数为：111011001101101/1001001100Tssss101T3-20某系统的结构图如图3-50所示。①确定系统的闭环传递函数C(s)／R(s)；②计算系统对G3(s)的灵敏度。③确定灵敏度是否依赖于G1(s)或G4(s)。解：①，C(s)／R(s)sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC323421323432111②，根据系统灵敏度定义有23242123223421324213111sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsCsG