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因式分解整式的乘除与因式分解复习与回顾:整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=；(x+1)(x－1)=.x2+xx2－1在小学我们知道，要解决这个问题，需要把630分解成质数乘积的形式.75326302类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.讨论630能被哪些数整除?观察、探究与归纳1)2()1(22xxx请把下列多项式写成整式乘积的形式.)1(xx)1)(1(xx把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.想一想：因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是互逆过程.(x+y)(x－y)x2－y2因式分解整式乘法类比与比较练习一理解概念判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)(a－3)(a+3)=a2－9(6)m2－4=(m+2)(m－2)；(7)2πR+2πr=2π(R+r).因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法.探究怎样分解因式:.mcmbma注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.说出下列多项式各项的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx－8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b－2ab2+ab.m4k5y2ab分析：应先找出与的公因式，再提公因式进行分解.例1分解因式把cabba323128)(3)(2cbcba分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.)(3)(2cbcba解：)32)((acb例2分解因式.随堂测验因式分解：(1)24x3y－18x2y；(2)7ma+14ma2；(3)－16x4+32x3－56x2；(4)－7ab－14abx+49aby；(5)2a(y－z)－3b(y－z)；(6)p(a2+b2)－q(a2+b2).拓展与提高1.20042+2004能被2005整除吗?.3,5)7(3)7(4.22xa，xxa其中先分解因式，再求值思考你能将多项式x2－16与多项式m2－4n2分解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?(a+b)(a－b)=a2－b2a2－b2=(a+b)(a－b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.15.4.2公式法(1)例3分解因式:(1)4x2–9;(2)(x+p)2–(x+q)2.分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2－9=(2x)2–32，即可用平方差公式分解因式.在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.(1)4x2–9=(2x)2–32=(2x+3)(2x–3).(2)(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]=(2x+p+q)(p–q).例4分解因式:(1)x4—y4;(2)a3b—ab.分析:(1)x4－y4写成(x2)2－(y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.解:(1)x4－y4=(x2+y2)(x2－y2)=(x2+y2)(x+y)(x－y).(2)a3b－ab=ab(a2－1)=ab(a+1)(a－1).分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.练习1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?(1)x2+y2;(2)x2－y2;(3)－x2+y2;(4)－x2－y2.2.分解因式:(1)a2－b2;(2)9a2－4b2;(3)x2y－4y;(4)－a4+16.251思维延伸1.观察下列各式:32－12=8=8×1;52－32=16=8×2;72－52=24=8×3;……把你发现的规律用含n的等式表示出来.2.对于任意的自然数n，(n+7)2－(n－5)2能被24整除吗?为什么?思考：你能将多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？(a+b)2=a2+2ab+b2,(a－b)2=a2－2ab+b2.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a2－2ab+b2=(a－b)215.4.2公式法(2)·例5分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32a22abb2+·解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.+解：(2)－x2+4xy－4y2=－(x2－4xy+4y2)=－[x2－2·x·2y+(2y)2]=－(x－2y)2.例5分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.例6分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2－12(a+b)+36.分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)(a+b)2－12(a+b)+36=(a+b)2－2·(a+b)·6+62=(a+b－6)2.将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2－12m+36.练习1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？(1)a2－4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b－1;(4)a2+ab+b2.2.分解因式：(1)x2+12x+36;(2)－2xy－x2－y2;(3)a2+2a+1;(4)4x2－4x+1;(5)ax2+2a2x+a3;(6)－3x2+6xy－3y2.应用提高、拓展创新1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）；（2）；（3）；（4）（5）.44yx33abba22363ayaxyax22)()(qxpx36)(12)(2baba归纳：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到不能分解为止.2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.今天你有什么收获?你还有什么疑问吗?小结作业：习题15.4，2、3、5.»一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。——威尔逊•二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂•三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。——毛泽东•四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩•五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪•六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙•七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏•八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名•九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。——佚名•十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。——屠格涅夫•十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契•十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。——司汤达•十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅•十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果•十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德•十六、有梦者事竟成。——沃特•十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生•十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂•十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名•二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德•二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利•二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底•二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩•二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅•二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。——杜鲁门·卡波特•二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特•二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德•二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁•二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约·奥赖利•三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名•三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆•三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思•三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知•三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛•三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名•三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名•三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪•三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利•三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。——莎士比亚•四十、如果失去梦想，人类将会怎样？——热豆腐•四十一、无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵的品质。——佚名•四十二、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。——古龙•四十三、梦想家的缺点是害怕命运。——斯·菲利普斯•四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。——纪伯伦•四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。——佚名•四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。——歌德•四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。——鲁迅•四十八、浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。──列宁•四十九、意志薄弱的人不可能真诚。——拉罗什科•五十、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。——古龙•五十一、得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。——无名氏•五十二、所虑时光疾，常怀紧迫情，蹒跚行步慢，落后最宜鞭。——董必武•五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生•五十四、很难说什么是