高等数学1-1-映射与函数

上页下页铃结束返回首页1一、常见数集二、映射三、函数映射与函数上页下页铃结束返回首页2几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理数集.一、常见数集上页下页铃结束返回首页3(a,b)={x|axb}——开区间.[a,b]={x|axb}——闭区间.[a,b)={x|axb}——半开区间,有限区间上述有限区间中,a和b称为区间的端点,b-a称为区间的长度.(a,b]={x|axb}——半开区间.上页下页铃结束返回首页4(-,b]={x|xb},(-,+)={x||x|+}.[a,+)={x|ax},无限区间(-,b)={x|xb},(a,+)={x|ax},上页下页铃结束返回首页5邻域U(a,)=(a-,a+)={x||x-a|}称为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,正数称为邻域的半径.去心邻域U(a,)={x|0|x-a|}.。当不标明半径时,以点a为中心的邻域,记作U(a).设变量xU(a,),则越小,表示x与a越接近.上页下页铃结束返回首页61.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY.定义•y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y=f(x),•X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rf=f(X)={f(x)|xX}.•元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;•集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df=X.二、映射上页下页铃结束返回首页72.单射与逆映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f(x)=y,规定g(y)=x.于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g.这个映射g称为f的逆映射,记作f-1,其定义域为Rf,值域为X.逆映射单射设f为X到Y的映射,若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为X到Y的单射.上页下页铃结束返回首页8三、函数设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,通常简记为y=f(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df=D.1.函数概念定义自然定义域定义域未标明的算式表示的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域.上页下页铃结束返回首页9构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.函数的两要素坐标平面上的点集{(x,y)|y=f(x),xD}称为函数y=f(x),xD的图形.函数的图形注:值域不同的两个函数一定不相同.上页下页铃结束返回首页10分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例2取整函数y=[x]:表示不超过x的最大整数.例1符号函数1,0sgn0,01,0xyxxx===-上页下页铃结束返回首页11例6.函数+=11102xxxxy.例3此函数的定义域为D=[0,1](1,+)=[0,+).当0x1时,xy2=当x1时,y=1+x.当0x1时,xy2=当x1时,y=1+x.上页下页铃结束返回首页12设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界.(1)函数的有界性如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界.如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.2.函数的几种特性注:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.上页下页铃结束返回首页13函数xxxxxf+-+=222)(在区间),0(+内是否有上界？1)1(=-+=xx函数)(xf在区间),0(+内有上界1.xx11211+++=21例42212)(xxxxf-++解一xxxxxxf+++=222)(解二函数)(xf在区间),0(+内有上界21.问题:函数)(xf在区间),0(+内是否为单调函数.上页下页铃结束返回首页14例5证明函数f(x)=xsinx在[0,+∞)上无界.,,MkM总存在正整数对任一正数则有取,20+=kx|sin||)(|000xxxf=Mx=0Mkx0.),0[sin)(上无界在区间因此函数+=xxxf,2时当+=kxkkxxf+==2|)(|分析:证明:如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界.如果对任一正数M,总存在x0X,使|f(x0)|M,则称函数f(x)在X上无界.上页下页铃结束返回首页15设函数y=f(x)在区间I上有定义,x1及x2为区间I上任意两点,且x1x2.如果恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单调增加的.(2)函数的单调性如果恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.上页下页铃结束返回首页16设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.(3)函数的奇偶性•奇偶函数举例y=x2,y=cosx,f(x)+f(-x)都是偶函数.y=x3,y=sinx,f(x)-f(-x)都是奇函数.注:常量函数为偶函数.•奇偶函数的运算性质将偶函数对应于正数,奇函数对应于负数.上页下页铃结束返回首页17奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y轴•奇偶函数的图形特点设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.(3)函数的奇偶性上页下页铃结束返回首页18例6判断解2()ln(1)fxxx=++的奇偶性.2()ln(()1)fxxx-=-+-+222(1)(1)ln1xxxxxx-++++=++21ln1xx=++2ln(1)xx=-++()fx=-2()ln(1)fxxx=++为奇函数71828.2,logln==exxe上页下页铃结束返回首页19(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(x+l)=f(x),则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.•周期函数的图形特点上页下页铃结束返回首页203.反函数与复合函数反函数设函数f:Df(D)是单射,则它存在逆映射f-1:f(D)D,称此映射f-1为函数f的反函数.按习惯,y=f(x),xD的反函数记成y=f-1(x),xf(D).例如,函数y=x3,xR是单射,所以它的反函数存在,其反函数为31xy=,xR.31yx=,yR.函数y=x3,xR的反函数是提问:下列结论是否正确？上页下页铃结束返回首页21函数y=f(x)和y=f-1(x)的图形关于直线y=x是对称的.3.反函数与复合函数反函数设函数f:Df(D)是单射,则它存在逆映射f-1:f(D)D,称此映射f-1为函数f的反函数.按习惯,y=f(x),xD的反函数记成y=f-1(x),xf(D).)(afb=)(1bfa-=提示:上页下页铃结束返回首页22,xeu=令11--+-=uuuuy.的反函数、值域求xxxxeeeey--+-=例7解则有1122+-=uu,122-=+uyyuyyu-+=112,112yyex-+=yyx-+=11ln21所求反函数为xxy-+=11ln21其定义域为(-1,1),即为所求值域.上页下页铃结束返回首页231)()()]([+=xgxgxgf111+++=xxxx121++=xx1(),()[()]1xxfxgxfgxxx+==+设,求及其定义域.例8解()0,gxx的定义域为()1,fxx-又因的定义域为于是()1gx-,1xx+-1,12x-所求定义域为1{|0,}.2xxx-所求定义域也可表示为11(,)(,0)(0,).22---+上页下页铃结束返回首页24函数y=f[g(x)]称为由函数y=f(u)和函数u=g(x)构成的复合函数,变量u称为中间变量.复合函数注:1.g与f能构成复合函数的条件是:RgDf≠F.否则,不能构成复合函数.2.g(x)Df的解集为f[g(x)]的自然定义域.3.函数y=f[g(x)]也记为y=f◦g(x).例912ln01sin0xx+exkkxk22,22Z],2[=yD.)2(ln)(sin],1,0[的定义域求设xfxfyDf+==解上页下页铃结束返回首页25解例10分解下列复合函数:2(1)sin;yx=1(2)lncos;yx=sin(3).xyx=(1),2uy=xusin=(2),lnuy=,cosvu=xv1=(3)xxeysinln)(=xxesinln=,uey=xxusinln=xexln=yexxy==ln上页下页铃结束返回首页26).(,1)1(22xfxxxxf求已知+=+例11解一,1xxu+=242-=uux令得=)(uf2222)42()24(-+-uuuu2222)24()24(-+-=uuuu22-=u2()2fxx=-解二221)1(xxxxf+=+2)1(2-+=xx2()2fxx=-上页下页铃结束返回首页27,1(),(),[()],[()].ln,1xxxfxgxefgxgfxxx==设求解(),()1[()]ln(),()1gxgxfgxgxgx=例12,1ln,1xxxxeeee=()[()]fxgfxe=,0,0xexxx=ln,1,1xxexex=,1,1xexxx=上页下页铃结束返回首页28)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设-+==解=1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,0x,12)(+=xx;20x,0x,11)(2-=xx;1-x,12)(+=xx.2x,0x,11)(2-=xx;01-x例13---+=-+2,120011,,2,2122xxxxxexexx,0x分析:上页下页铃结束返回首页29基本初等函数幂函数:y=x(R是常数);指数函数:y=ax(a0且a1);对数函数:y=logax(a0且a1),特别当a=e时,记为y=lnx;三角函数:y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx;4.初等函数反三角函数:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.上页下页铃结束返回首页304.初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数,称为初等函数.都是初等函数.例如,函数21xy-=,xy2sin=,2cotxy=提问:y=|x|是初等函数吗?提示:2||xx=提问:幂指函数y=xsinx是初等函数吗?xxeysinln)(=上页下页铃结束返回首页31解思考题已知22122()(),1xxfxxfxx++=+求().fx2212112()()11xxffxxxx++=+212xxx+=+221244()2()1xxfxxfxx++=+22122()()