基本不等式-题型总结(经典-非常好-学生评价高)

1基本不等式一.基本不等式①公式：(0,0)2ababab，常用2abab②升级版：22222ababab,abR选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意,ab范围为正数。二定：指的是ab是定值为常数三相等：指的是取到最值时ab典型例题：例1.求1(0)2yxxx的值域分析：x范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：1()2yxx00xx112()()222xxxx122xx得到(,2]y2例2.求12(3)3yxxx的值域解：123yxx（“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值）12(3)63xx330xx12(3)223xx226y，即226,y例3.求2sin(0)sinyxxx的值域分析：sinx的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y取到最小值时，sinx的值是2，但2不在范围内解：令sin(0,1)txt，2ytt是对钩函数，利用图像可知：在(0,1)上是单减函数，所以23tt，（注：3是将1t代入得到）(3,)y注意：使用基本不等式时，注意y取到最值，x有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。3例4．求221(2)2xxyxx的值域分析：先换元，令2,0txt，其中2xt解：22(2)2(2)16116ttttytttt110268ttttt[8,)y总之：形如2(0,0)cxdxfyacaxb的函数，一般可通过换元法等价变形化为pytt()p为常数型函数，要注意t的取值范围；【失误与防范】1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【题型2】条件是ab或ab为定值，求最值（值域）（简）例5．若0,0xy且18xy，则xy的最大值是________．解析：由于0,0xy，则2xyxy，所以218xy，则xy的最大值为81例6．已知,xy为正实数，且满足4312xy，则xy的最大值为________．解析：43243xyxy∴4312xy，3xy当且仅当434312xyxy即322xy时，xy取得最大值3.例7．已知0,0mn，且81mn，则mn的最小值为________．解析：0,0mn，218mnmn，当且仅当9mn时，等号成立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小4【题型3】条件是ab或11ab为定值，求最值（范围）（难）方法：将1整体代入例8.已知0,0xy且1xy，则11xy的最小值是________________解析：1xy1111()()2224yxyxxyxyxyxyxy所以最小值是4例9.已知0,0ab，2ab，则14yab的最小值是________．解析：212abab则141412()()2222abbaababab52529222222babaabab所以最小值是92例10.已知0,0xy，且121,xy求2xy的最小值是____________解析：121,xy则12222()(2)14yxxyxyxyxy22529yxxy从而最小值为95【题型4】已知ab与ab关系式，求取值范围例11.若正数,ab满足3abab，求ab及ab的取值范围．解析：把ab与ab看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求ab的范围（需要消去ab：①孤立条件的ab②2abab③将ab替换）①3abab3abab，②2abab③32abab（消ab结束，下面把ab看成整体，换元，求ab范围）令(0)tabt，则32abab变成232tt解得3t或1t（舍去），从而9ab⑵求ab的范围（需要消去ab：①孤立条件的ab②2()2abab③将ab替换）3abab2,2abab，232abab（消ab结束，下面把ab看成整体，换元，求ab范围）令(0)tabt则有232tt，2412tt，24120tt，得到6t或2t（舍去）得到6ab