基本不等式题型归纳

第1页，总4页基本不等式题型归纳【重点知识梳理】1．基本不等式：2abab（1）基本不等式成立的条件：0a，0b．（2）等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立．2．几个重要的不等式：（1）222abab（,abR）；（2）2baab（0ab）；（3）2()2abab（,abR）；（4）2222()()abab（,abR）．3．算术平均数与几何平均数设0a，0b，则,ab的算术平均数为2ab，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知0a，0b，则（1）如果积ab是定值p，那么当且仅当ab时，ab有最小值是2p．（简记：积定和最小）（2）如果和ab是定值p，那么当且仅当ab时，ab有最大值是24p．（简记：和定积最大）题型一览1、已知0a，0b，且41ab，则ab的最大值为_______，则1ab的最小值为_______；2、已知21xy，则24xy的最小值为_______3、设03x，则函数4(52)yxx的最大值为_______4、若0x，则4xx的最小值为_______；若0x，则4xx的最大值为_______5、若2x，则12xx的最小值为_______；若2x，则12xx的最大值为_______若函数1()(2)2fxxxx在xa处有最小值，则a_______6、已知,abR，且22ab，则12ab（2abba）的最小值为_______，此时,ab的值分别是_______7、已知0x，0y，212xy（22xyxy或220xyxy），则2xy的最小值为_______8、已知0,0ab，如果不等式212mabab恒成立，那么m的最大值等于_______第2页，总4页9、几个分式的变形：（1）若0x，则函数21xyx的最小值是_______（2）已知0t，则函数241ttyt的最小值为_______（3）函数2+5+15=(0)2xxyxx的最小值为_______分析：变形得22515(2)2922xxxxyxx99(2)12(2)1722xxxx，当且仅当9(2)2xx，即1x时取等号，故函数2515(0)2xxyxx的最小值为7（4）已知0ba，2ab，则22abab的取值范围是_______解：2222()2()444()[()]4abababababbaababababba（5）设22()4xfxx（0x），则()fx的最大值为_______；（6）已知0,0ab，则222232aabbaabb的最小值是_______（7）已知,ab都是负实数，则2ababab的最小值是_______解：222222221112232323abaabbababababaabbaabbba，23223abba，2222ababab10、（1）已知非负实数,xy满足1xy，则1411xy的最小值为_______分析：因为1xy，所以113xy，即1[(1)(1)]13xy，因为非负实数,xy，所以10,10xy，所以11111()[(1)(1)]11113xyxyxy114(1)[14]311yxxy114(1)19[52](54)331133yxxy当且仅当14(1)11yxxy，即12(1)yx，0,1xy时取等号，所以1411xy的最小值为3第3页，总4页（2）已知实数,xy满足102xyxy，且，则213xyxy的最小值为_______解：【法一】由题知11[(3)()]22xyxyxy，则(3)()1xyxy21212()3()[(3)()]3()322333xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy【法二】令xyt，3xys（0,0ts）则1(3)4xst，1()4yst，由12xy，可得1st，则2121212()()3()3223tsstxyxyststst，当且仅当222st时，等号成立11、（1）已知,xy均为正实数，且3xyxy，则xy的最小值为_______解：因为,xy均为正实数，所以2xyxy，3xyxy可化为23xyxy，即(3)(1)0xyxy，所以3,9,xyxy故当且仅当xy时，xy取得最小值9（2）已知,xy均为正实数，39xyxy，则3xy的最小值为_______解：因为,xy均为正实数，所以211393333()332xyxyxyxyxyxy，12、（1）若正实数,xy满足221xyxy，则xy的最大值是_______解：由221xyxy，得21()xyxy，22()()114xyxyxy，解得232333xy，xy得最大值为233（2）设,xy为实数，若2241xyxy，则2xy的最大值是_______解：由2241xyxy得2222314(2)3(2)22xyxyxyxyxyxy2223251(2)()(2)228xyxyxy则210210255xy13、若,(0,2]xy且2xy，使不等式(2)(2)(4)axyxy恒成立，则实数a的取值范围为A．12aB．2aC．2aD．12a第4页，总4页分析：由,(0,2]xy，2xy，得1022(2)(4)102222xyxyaxyxyxy．又2224xyxy由，∴12a，选D．14、若0,0ab，且4ab，则下列不等式恒成立的是（）A．112abB．111abC．2abD．228ab分析：因为0a，0b利用基本不等式有24,2ababab，当且仅当ab时等号成立，C错；由2ab得，114ab，A错；222()21688ababab，当且仅当ab时，等号成立，D正确；11414ababab，当且仅当ab时等号成立，B错；综上可知，选D．15、设正实数,,xyz满足22340xxyyz，则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为A．0B．1C．94D．3答案：由22340xxyyz得2234zxxyy，则221114344323xyxyxyzxxyyxyyxyx，当且仅当2xy时等号成立，此时22zy222122122111(2)122xyzyyyyyyy．16、（2013天津理14）设2ab，0b，则当a_____时，1||2||aab取得最小值．解：因为2ab，所以1=2ab1||||||22||2||4||4||abaaabaababaab||2+14||4||4||abaaaaba，当0a时，5+1=4||4aa，1||52||4aab；当0a时，3+1=4||4aa，1||32||4aab，当且仅当2ba时等号成立．因为0b，所以原式取最小值时2ba.又2ab，所以2a时，原式取得最小值．