基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若Rba,，则abba222（2）若Rba,，则222baab2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,Rba，则abba23、基本不等式的两个重要变形（1）若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则22baab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）（2）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）（3）若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）（4）若Rba,，则2)2(222babaab（5）若*,Rba，则2211122babaabba特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”6、柯西不等式（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd（2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：22222221231123112233()()()aaabbbababab（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba1122、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2223、已知1abc，求证：22213abc4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(已知,,abcR，且1abc，求证：1111118abc6、选修4—5：不等式选讲设,,abc均为正数,且1abc,证明:(Ⅰ)13abbcca;(Ⅱ)2221abcbca.7、选修4—5：不等式选讲：已知0ba，求证:baabba223322题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213xxy（2）)4(xxy（3）)0(1xxxy（4）)0(1xxxy题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2x，求函数42442xxy的最小值；变式1：已知2x，求函数4242xxy的最小值；变式2：已知2x，求函数4242xxy的最大值；练习：1、已知54x，求函数14245yxx的最小值；2、已知54x，求函数14245yxx的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当时，求(82)yxx的最大值；变式1：当时，求4(82)yxx的最大值；变式2：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。2、若02x，求yxx()63的最大值；变式：若40x，求)28(xxy的最大值；3、求函数)2521(2512xxxy的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数)41143(41134xxxy的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；法一：法二：变式1：已知22,0,baba，求tab11的最小值；变式2：已知28,0,1xyxy，求xy的最小值；变式3：已知0,yx，且119xy，求xy的最小值。变式4：已知0,yx，且194xy，求xy的最小值；变式5：（1）若0,yx且12yx，求11xy的最小值；（2）若Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值；变式6：已知正项等比数列na满足：5672aaa，若存在两项nmaa,，使得14aaanm，求nm41的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数)1(11072xxxxy的值域；变式：求函数)1(182xxxy的值域；2、求函数522xxy的最大值；（提示：换元法）变式：求函数941xxy的最大值；题型七：基本不等式的综合应用1、已知1loglog22ba，求ba93的最小值2、（2009天津）已知0,ba，求abba211的最小值；变式1：（2010四川）如果0ba，求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0aa时，函数1)1(logxya的图像恒过定点A，若点A在直线0nymx上，求nm24的最小值；3、已知0,yx，822xyyx，求yx2最小值；变式1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围；变式2：（2010山东）已知0,yx，312121yx，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知0,yx，122xyyx，求xy最大值；4、（2013年山东（理））设正实数zyx,,满足04322zyxyx,则当zxy取得最大值时,zyx212的最大值为（1）（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设zyx,,是正数，满足032zyx，求xzy2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012沈阳检测）已知0,yx，且9)1)((yaxyx恒成立，求正实数a的最小值；2、已知0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果Nn，求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知0,ba满则241ba，若cba恒成立，求c的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式),,,,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd2、二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1(，),,,,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcbabdacdcba2222)2(),,,,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba2)())()(3(bdacdcba，),0,,,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcadcba3、二维形式的柯西不等式的向量形式，),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当kak4、三维柯西不等式若123123,,,,,aaabbbR，则有：22222221231123112233()()()aaabbbababab),,(332211时等号成立当且仅当bababaRbaii5、一般n维柯西不等式设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有:22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab),,(2211时等号成立当且仅当nniibababaRba题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设,,xyzR，若2224xyz，则zyx22的最小值为时，),,(zyx析：]2)2(1)[()22(2222222zyxzyx3694，∴zyx22最小值为6此时322)2(16221222zyx，∴32x，34y，34z2、设,,xyzR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时,,xyz之值。Ans：)34,32,34(),,(;4zyxm3、设,,xyzR，332zyx，求222)1(zyx之最小值为，此时y（析：0)1(32332zyxzyx）4、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,abcabc则22249abc的最小值是(12:Ans)5、（2013年湖北卷（理））设,,xyzR,且满足:2221xyz,2314xyz,求zyx的值；6、求coscossincos3sin2的最大值与最小值。（Ans：最大值为22，最小值为22）析：构造法：令a(2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)