(新华东师大版)23.3.2-相似三角形(2)判定1(两角)

§知识回顾1、相似三角形的判定法：①定义：三边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形相似。②平行线判定：平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似。2、（2013温州）如图，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC,已知AE=6，则EC的长是（）A.4.5B.8C.10.5D.1434ADBDBACDEB知识探索问题1我们知道，根据相似三角形的定义，要判定两个三角形是否相似，必须判断它们的对应边是否成比例，对应角是否相等。那么是否存在简便的方法？问题2我们知道，判定两个三角形全等的方法有：__________________________________________________________________________.⑴两边及夹角（SAS）；⑵两角及夹边（ASA）；⑶两角及对边（AAS）；⑷三边（SSS）相似三角形是否有类似的判定方法？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的．这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？发现：对应边成比例，根据定义，两个三角形确实相似。确实相似由上可得，三角分别相等的两个三角形相似。如图，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠.'A'B'C那么△ABC∽△'''ABC我们知道，三角形的内角和为，如果两个三角形有两对角分别相等，那么第三对角一定相等。180o所以，判定两个三角形相似的方法可简化为：两角分别相等的两个三角形相似。知识概括相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。数学符号表示CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'(两角对应相等的两三角形相似)定理证明如图，在ΔABC和Δ中，∠A=∠，∠B=∠求证：111ABC1A1B△ABC∽△111ABC文字叙述证明题步骤：先画图；写出已知、求证；再证明。CAB1A1B1C分析：在ΔABC中截一个三角形与ΔABC相似，如何截？作平行线DE这样,△ADE∽△ABC下面就只须证明：ADE≌111ABCCAB1A1B1C【证明】DE在AB上截取AD=，过D点作DE∥BC交AC于点E,则11AB△ADE∽△ABC∵DE∥BC∴∠ADE=∠B又∠B=∠1B∴∠ADE=∠1B在△ADE和△中，111ABC∵∠A=∠,AD=,∠ADE=∠.1A11AB1B∴△ADE≌△111ABC∴△ABC∽△111ABCABCA’C’B’下列图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCA’B’C’ABCDE练习1.已知，如图（2)要△ABC∽△ACD，需要条件；2.已知，如图（3)要使△ABE∽△ACD，需要条件；ABCD图2ABCED图33．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝70°，这两个三角形相似吗?ABCA′B′C′∠A＝∠A′＝50°∠B＝70°∠B′＝60°这两三角形仍然相似吗？超级变变变：ABCA′B′C′例1如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，证明这两个三角形是否相似．证明：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），C'B'A'CBA∴△ABC∽△A′B′C′（两组对应角分别相等的两个三角形相似）例题解析如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．例1分析：DE∥BC∠=∠AEDCEF∥AB∠=∠ACEF【证明】∵DE∥BC∴∠AED=∠C又∵EF∥AB∴∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC()两角分别相等的两个三角形相似思考：还有其他方法没有？课本66页例题想一想课本66页在上例中，如果点D恰好是边AB的中点，那么①点E是边AC的中点吗？②DE和BC有什么关系？③△ADE与△CEF又有什么特殊关系？①点E是边AC的中点。结论：过三角形一边中点作另一边的平行线一定平分第三边。②DE是BC的一半。③△ADE≌△CEF课堂练习1、（课本67页）如图DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．分析：DG∥EH△ADG∽△AEHDG∥FI△ADG∽△AFIDG∥BC△ADG∽△ABC【解】△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC2．（课本67页）找出图中所有的相似三角形，并说明理由。分析：图中直角三角形有___个。3直角三角形的直角都相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”就只要找一组角相等，那么两个三角形就相似。△ACD∽△ABC∠A=∠A△BCD∽△ABC∠B=∠B△ACD∽△BCD∠A=∠BCD(或∠ACD=∠B)该图是一个基本图形，它们的锐角交叉相等。【解】△ACD∽△BCD∽△ABC理由：两角分别相等的两个三角形相似（第1题）找出图中所有的相似三角形．ACDCBDABC∽∽你会用语言描述该结论吗？试试看(1)、AC2=AD·AB(2)、CD2=AD·BD(3)、BC2=BD·AB△ACD∽△CBD∽△ABC小练习找出图中所有的相似三角形。“双垂直”三角形BDAC有三对相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC常用的成比例的线段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACD2ACADAB2BCBDAB2CDADDBACBCABCDBDAC4.过△ABC(∠C∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？CD●ＡＢBCADEEBCAD△ADE∽△ABC△AED∽△ABC∠A=∠A∠AED=∠C∠A=∠A∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B这样的直线有两条：（1）、两个等边三角形相似（）（2）、两个直角三角形相似（）（3）、两个等腰直角三角形都相似（）（4）、有一个角为50°的两个等腰三角形相似（）（5）、有一个角为100°的两个等腰三角形相似（）3、判断下列说法是否正确：4、（2013湖南益阳6分）如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.ABCDE分析：在△ABD和△CBE中，容易看出∠B是________.公共角这样，要证△ABD∽△CBE，只需再证明这两个三角形中还存在一组角相等。CE⊥AB∠BEC=______.90o这样就只需说明∠ADB=90oAB=AC△ABC为__________等腰三角形BD=CDAD为____________底边BC的中线AD⊥BCABCDE【证明】∵AB=AC,BD=CD∴AD⊥BC()等腰三角形三线合一∴∠ADB=90O又∵CE⊥AB∴∠BEC=90O∴∠ADB=∠BEC又∵∠ABD=∠CBE∴△ABD∽△CBE思考题:已知：如图，AD是△ABC的内角平分线，求证：CDBDACAB分析：过C点做CE平行于AD交AB于点E，所以∠3=∠2，∠1=∠E；又因为∠1=∠2，所以∠3=∠E，那么AC=AE，根据平行线等分线段定理AB：AE=BD：DC，将AE换成AC就得到了所要证明的结论.ECDAB123