《事件的独立性》PPT课件

高等院校非数学类本科数学课程大学数学(四)——概率论与数理统计脚本编写：孟益民教案制作：孟益民本章学习要求：理解事件频率的概念，理解概率的古典定义.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算.掌握概率的基本性质及概率加法定理.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理.了解事件的独立性概念.掌握贝努利概型和二项概率的计算方法.第一章随机事件及其概率第四节事件的独立性一、事件的独立性二、伯努利概型三、系统的可靠性一、事件的独立性||ABPABPBAPAPABPAPBA在上一节我们知道了条件概率这个概念，在已知事件发生的条件下，发生的可能性为条件概率（）（）（）由此得到了一般地概率乘法公式：（）（）（）问题什么样地情况呢？地影响，那么会出现了是否发生发生与否不受事件如果事件AB得正品”，那么为事件“第二次取品”，为事件“第一次取得正中，设回这批产品如果第一次抽取后仍放产品，每次任取一件。次抽取品率的产品中，接连两例如，在一批有一定次BA）（）（）（乘法公式成为BPAPABP）（）（ABPBP|.由此引入下述定义.2|,|,.001不受任何事件的影响）的发生与否、、与任一事件相互独立（、）（）（）（）（则相互独立，事件）（，）（当APBAPBPABPBABPAP定义相互独立。与则称事件），（）（）（满足、若事件BABPAPABPBA例1求敌机被击中的概率。乙击中敌机地概率为为机的概率机炮击，已知甲击中敌甲、乙各自同时向一敌.5.0,6.0.8.03.05.06.03.05.06.0）（于是）（）（）（的，因此有个随机事件是相互独立敌机”这两击中敌机”与“乙击中根据题意可以认为“甲CPBPAPABP.为事件“敌机被击中”；为事件“乙击中敌机”；为事件“甲击中敌机”设CBA由加法公式知解）（）（）（）（）（ABPBPAPBAPCP定义相互独立。，，则称事件）（）（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（有、、如果两独立），两两相互独立（也称两，，则称事件）（）（）（），（）（）（），（）（）（为三个事件，如果，，设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA..☆推广个相互独立的事件。是，，，成立，则称（都有式和任意的一组（的个事件。如果对于任意是，，，设nAAAAPAPAPAAAPniiinKKnAAAniiiiiiknkk21)2121)()()(1)112121相互独立。，，，两两独立，不能得到两两独立；，，，相互独立，则nnnnAAAAAAAAAAAA21212121,,,,,,223010nn21(11)121nnninnnnnninCCCCCCnn代表个等式不相互独立）。者都相互独立，或者都件或相互独立（即这四对事立的，则另外三对也是中有一对是互相独、；、；、若四对事件BABABA也相互独立。、即证得）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（故）（）（）（相互独立，所以有、因为其余请读者自行证明。也相互独立”、相互独立时、、这里仅证明“当BABPAPBPAPBPAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAPBPAPABPBABABA]1][1[1][11.,证定理☆推广独立。个事件仍然相互对立事件，则所得事件相应地换成它们的个（相互独立。若其中任意nnmmAAAAn)1,,,,321事件独立性的判断实际应用中，往往根据经验来判断两个事件的独立性：例如返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.例2一台发生故障的概率。，求它们中至少有和正常工作的概率分别为床着，第一台、第二台机设两台机床独立地运转93.0720.正常工作。台机床分别表示第一台、第二，，则障的事件为，第二台发生故的事件为设第一台机床发生故障2121AAAA.07.093.01)(1)2(,28.072.01)(1)(211APAPAPAP相互独立。，，故由于两台机床独立运转故障”，则表示“至少有一台发生用2121AAAACC解解法1.3304.007.028.007.028.021212121）（）（）（）（）（）（）（）（由加法公式APAPAPAPAAPAPAPCP解法23304.093.072.01111,,212121212121）（）（）（）（）（独立，于是也相互，相互独立，故APAPAAPCPCPAAAAAAAAC结论(1)若A、B、C相互独立，则AB与C独立,AB与C独立,AB与C独立.(3)n个事件相互独立，则其中任意m个事件的对立事件与剩余事件的组合仍是相互独立的则另外三对相互独立。其中任一对相互独立，与与与与,,,,)2(BABABABA结论在实际应用中,对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断.一般,若由实际情况分析,A,B两事件之间没有关联或关联很微弱,那就认为它们是相互独立的.例如,A,B分别表示甲乙两人患感冒.如果甲乙两人的活动范围相距甚远,就认为A,B相互独立,若甲乙两人是同住在一个房间里的,那就不能认为A,B相互独立了.两事件相互独立的含义是它们中一个已发生,不影响另一个发生的概率.☆除非两个事件之一的概率为0,否则两个相互独立的事件A与B通常是相容的,这是因为P(AB)=P(A)P(B)不为零.☆计算相互独立事件的交的概率通常是好算的,只须将它们各自的概率相乘即可.但经常也要计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者可以用加法定理,即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)结论☆如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,也可利用狄.摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率.)B)P(AP()BAP(B)P(A11)AP()A)P(AP()AAAP()AAP(Annn21212111,ABABABAB对偶律（DeMorgan律）：☆经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法定理,尤其常用的是三个事件的并的加法法则,例如,常见的求AB+CD+EF的概率,则P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)☆一种常见的题型,就是假设事件A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发生的概率,或者至少两件不发生的概率.而A,B,C至少两件发生的事件为P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC)-P(ABC)+P(ABC)AB+AC+BC=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C至少两事件不发生的事件为.22)C)P(B)P(AP()C)P(BP()C)P(AP()B)P(AP()CBAP()CBP()CAP()BAP()CBCABAP(因此CBCABA二、伯努利概型用事物的独立性来研究一类问题，一次抛掷n枚相同的硬币，要求“恰好出现k个正面”这一事件的概率.每次投掷一枚硬币,共投掷n次这n次投掷的结果是相互独立的.因而如果把相同条件下投掷一枚硬币看作一次试验,就意味着这n次试验是相互独立的.等价方式定义将试验重复进行n次,如果每次试验的结果都互不影响,即各次试验结果相互独立,则称这n次重复试验是n次重复独立试验.定义如果在n次重复独立试验中,每次试验的结果只有两个:,1(01),.AAPApPAPPnn和，且则称这次重复独立的试验为重伯努利试验，简称伯努利概型问题).0(nkkPkAnPAn次的概率恰好出现次重复独立试验中事件要计算，出现的概率为设每个试验中事件（对于伯努利概型），:),210()1(.11因此有下面定理理种出现方式，按加法定组合计算法可知应有次出现，按次，不考虑在哪试验中出现在于只考虑由应该次试验中不出现的概率现而其余次试验中出在指定的这次试验的独立性，首先，由n、、kPPCkPCkknApPnkAnknkknnknknk定理在n重伯努利试验中,如果事件A在每一次试验中发生的概率为P(0p1),则事件A在n次重复试验中恰好发生k次的概率为项概率公式。项，所以上述公式称二按二项公式展开式的各恰好是由于nknkknppnkppC1),,2,1,0()1(pqnkqpCkPknkknn1).,,2,1,0(其中★n重伯努里试验成功的次数在n重伯努里试验中，记事件A出现的次数为X.X的可能取值为：0，1，……，n.X取值为k的概率为：（二项概率公式）knkknppCkXP)1()(例3一批产品中有20%的次品.进行重复抽样检查,共有五件样品.计算这五件样品中恰好有三件次品、至多有三件次品的概率.解按概率公式，得三件次品。现在，两件一件有零件依次为五件样品中恰好设2.053210、pn、、、、A、A、AA9933.00512.02048.04096.03277.08.02.0323458.02.02458.02.058.032102334555553210PPPPAAAAP;0512.0)8.0()2.0(3233553CPAP一条自动生产线上产品的一级品率为0.6,现检查了10件,求至少有两件一级品的概率.设B为事件至少有两件一级品.此为n=10重伯努利试验,事件A(抽到一级品)的概率p=0.6998040601040110119101010....)(p)(p)BP(P(B)例4解三、系统的可靠性一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.由元件组成的系统正常工作的概率称为系统的可靠性.系统的可靠性由系统的元件的可靠性及其联接方式决定.1ana2a以下假设各元件正常工作与否是相互独立的，记Ai“表示元件ai正常工作”设用Bi表示“元件bi正常工作”，设P（Bi）=si.nirAPii,,2,1,)(串联系统由n个元件串联而成，故只要一个元件失效，系统就不正常工作，所以该系统可靠性为1．串联系统nnrrrAAAPP21211)(特别地，当时，.rrrrn21nrP12．并联系统并联系统由n个元件并联而成,只要有一个元件正常工作，系统就不会失效，于是串联系统的可靠性为).1()1)(1(1)(1)(1)(22121212nnnnrrrAAAPAAAPAAAPP特别地，当时，.rrrrn21nrP)1(121a2a3a3．串并联系统设有2n个元件组成一个系统，它是由2条串联子系统并联而成.它正常工作时，要求两条串联支路至少有一条正常工作，用A、B分别表示两条支路工作正常，则P（A）=P（A1A2…An）=,P（B）=P（B1B2…Bn）=.nrrr21nsss21).1)(1(1))(1))((1(1)()(1)(1)(1)(21213nnsssrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPP因此系统的可靠性为1ana2a1bnb2b特别地，当r1=r2=…=rn=s1=…=sn=r时，)2()1(123nnnrrrP显然，可见并联可使可靠性提高，但元件数量增大.13PP