整式的加减(一)合并同类项(提高)知识讲解

让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第1页共5页整式的加减（一）——合并同类项（提高）责编：杜少波【学习目标】1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；2.掌握同类项的有关应用；3.体会整体思想即换元的思想的应用．【要点梳理】【高清课堂：整式加减（一）合并同类项同类项】要点一、同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．要点诠释：(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．要点二、合并同类项1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．【典型例题】类型一、同类项的概念1．判别下列各题中的两个项是不是同类项：(1)-4a2b3与5b3a2；(2)2213xyz与2213xyz；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．【答案与解析】(1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.2．（2016•邯山区一模）如果单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求（1）（7a﹣22）2013的值；（2）若5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第2页共5页【答案与解析】解：（1）由单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3；∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；（2）由5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得5m﹣5n=0，解得m=n；∴（5m﹣5n）2014=02014=0．【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．举一反三：【变式】（2015•石城县模拟）如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（）A.a=2，b=3B.a=1，b=2C.a=1，b=3D.a=2，b=2【答案】C解：根据题意得：a+1=2，b=3，则a=1．类型二、合并同类项【高清课堂：整式加减（一）合并同类项例2】3．合并同类项：221324325xxxx；2222265256ababba；2223542625yxxyxyxyxy;2323431215141xxxx（注：将“1x”或“1x”看作整体）【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．【答案与解析】（1）22232234511xxxxxx原式（2）2222665522aabbabab原式=（3）原式=222562245xyxyxyxyxy2245xyxy（4）223323315121412161xxxxxx原式【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.举一反三：【变式1】化简：（1）32313125433xyxyxyx（2）(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第3页共5页【答案】原式3323211231123()()53345334xyxyxxyxyxy3221.1512xyxy（2）(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)=-(a-2b)2+3(a-2b).4.（2015•大丰市一模）若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n=．【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．【答案】-1【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得，解得．m+n=﹣1，故答案为：﹣1．【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．举一反三：【变式】若35xab与30.2yab可以合并，则x，y.【答案】3,3类型三、化简求值5.化简求值：（1）当1,2ab时，求多项式3232399111552424abababababab的值．（2）若243(32)0abb，求多项式222(23)3(23)8(23)7(23)abababab的值．【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：原式=32391911()(5)52244ababab=32345abab让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第4页共5页将1,2ab代入，得：3233234541(2)1(2)519abab（2）把(23)ab当作一个整体，先化简再求值：原式=22(28)(23)(37)(23)10(23)10(23)abababab由243(32)0abb可得：430,320abb两式相加可得：462ab，所以有231ab代入可得：原式=210(1)10(1)20【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．举一反三：【高清课堂：整式的运算（一）—合并同类项例4】【变式】3422323323622已知与是同类项，求代数式的值abxyxybabbab.【答案】3422323223323323231,24.2,6.362232624,2,66426228.abxyxyababbabbabbbababbabab解：与是同类项，当时，原式类型四、综合应用6.若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.【答案与解析】法一：由已知ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)∴2,17,82(1),237.abcd解得：2,6,5,3.abcd∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.法二：说明：此题的另一个解法为：由已知(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0.因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第5页共5页解得：【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．举一反三：【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.【答案】-2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1∵此多项式的值与x的值无关，∴20,50.nm解得:25nm当n=2且m=-5时，(x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.∵(x-m)2≥0，∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.【变式2】若关于,xy的多项式：2223332mmmmxymxynxyxymn，化简后是四次三项式，求m+n的值．【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：因为22mxy的次数是m，2mmxy的次数为1m，33mnxy的次数为m，32mxy的次数为2m，又因为是三项式,所以前四项必有两项为同类项，显然2233mmxynxy与是同类项，且合并后为0，所以有5,10mn，5(1)4mn．20,60,2(1)80,(39)0.abcd2,6,5,3.abcd