专题(八)-二次函数与一次函数、几何类问题

专题(八)二次函数与一次函数、几何类问题九年级上册人教版数学一、二次函数与三角形1．(阿凡题：1070566)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2的图象过C点．求抛物线的解析式．解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴1＝12×9＋3b－2，解得b＝－12，∴抛物线的解析式为y＝12x2－12x－2二、二次函数与四边形2．(阿凡题：1070567)如图，抛物线经过点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝12x2－2x－52(2)存在．如图，①当点N在x轴的下方，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN⊥对称轴，∴点C与点N关于对称轴直线x＝2对称，∵C点的坐标为(0，－52)，∴点N的坐标为(4，－52)；②当点N′在x轴上方时，作N′H⊥x轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵点C的坐标为(0，－52)，∴N′H＝52，即N点的纵坐标为52，∴12x2－2x－52＝52，解得x1＝2＋14，x2＝2－14，∴点N′的坐标为(2－14，52)和(2＋14，52)．综上所述，满足条件的点N共有三个，分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，52)三、二次函数与一次函数3．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为(－3，0)，抛物线顶点P的纵坐标为－4，经过B点的一次函数y＝x－1的图象交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围；(3)求△BPD的面积．解：(1)∵一次函数y＝x－1的图象经过B点，∴B点坐标为(1，0)．∵A点坐标为(－3，0)，抛物线顶点P的纵坐标为－4，∴抛物线顶点P的坐标为(－1，－4)，∴a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，a－b＋c＝－4.解方程组得a＝1，b＝2，c＝－3，故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3(2)联立一次函数y＝x－1和抛物线的解析式可得y＝x2＋2x－3，y＝x－1，解得x1＝－2，y1＝－3，x2＝1，y2＝0，则D点坐标为(－2，－3)，由图象可得当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围为－2＜x＜1(3)过点P作PM∥y轴交BD于点M，则当x＝－1时，y＝x－1＝－2，∴M(－1，－2)，则PM＝2，则S△BPD＝S△BPM＋S△MPD＝12×2×[1－(－1)]＋12×2×[(－1)－(－2)]＝34．(阿凡题：1070568)如图，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根x1，x2(x1＜x2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A(3，6)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，求P点和G点坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MG＋MA取得最小值时，求点M的坐标．解：(1)解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为C(－3，0)，B(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．∵A(3，6)在抛物线上，∴6＝a(3＋3)×(3－1)，∴a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x－32(2)∵y＝12x2＋x－32＝12(x＋1)2－2，∴抛物线顶点P的坐标为(－1，－2)，对称轴为直线x＝－1.可求直线AC的解析式为y＝x＋3，将x＝－1代入得y＝2，∴G点坐标为(－1，2)(3)作A关于x轴的对称点A′(3，－6)，连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．可求直线A′G的解析式为y＝－2x，令x＝0，则y＝0，∴M点坐标为(0，0)