3线性变换及其矩阵表示

§3线性变换及其矩阵表示一、线性变换的引入在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小于1，图像就能够被放大或者缩小。设Vn到Vm的变换T称为线性的，如果对任意数k及Vn中任意向量,，恒有.)(,)(kTkTTTT记mVT，则称为在T下的像，称为的原像。特别，当T是Vn到自身的一个线性变换，则称T是Vn的线性变换。线性变换的定义1212()()()TkkkTkTαβαβ更一般地，若npVuuu,,21，反复使用上面公式可得11221122()()()()ppppTkkkkTkTkTuuuuuu此公式在工程和物理中被称为叠加原理。如果puuu,,21分别是某个系统或过程的输入信号向量，则12(),(),()pTTTuuu可分别视为该系统或过程的输出信号向量。判断一个系统是否为线性系统的判据如果系统的输入为线性表达式ppkkkuuuy2211，则当系统的输出也满足相同的线性关系1122()()()()ppTkTkTkTyuuu时，该系统为线性系统。否则，为非线性系统。例1TxxxxxxxT3212221211,)(xxTxxxxxxxT32132212,)(xx判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）例2定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换是一个线性变换.dttfxfTxa证明设.,VxgVxf则有dttgtfxgxfTxadttgdttfxaxaxgTxfT.xfkTtdtfkdttkfxkfTxaxa例3线性空间V中的恒等变换（或称单位变换）I，是线性变换。,.IV证明则有IIIV,设.IkkkI所以恒等变换是线性变换。例4线性空间V中的零变换是线性变换。0o证明000ooo设,,V则有00.okkko所以零变换是线性变换。例5证明实内积空间变换到实数域R上的线性变换。VyxyxyxyxniiiT,,),(1},:),{(VyxyxVV是一种将笛卡儿积给定nmFA，定义Vn到Vm的变换T为例6A称为线性变换T的标准矩阵(Standardmatrix)。AxxT)(线性变换也称为矩阵变换。)()(2121xxAxxT1212()()AxAxTxTx()()()TkxAkxkAxkTx。易证T是线性变换.,nmmnxFyAxFA二、线性变换的性质;,001TTT.,,,,,,,22121亦线性相关则线性相关若mmTTT3若,2211mmkkk则.2211mmTkTkTkTnVT4线性变换T的象集是一个线性空间，称为线性变换T的象空间。由于,nnVVT由此知它对中的线性运算封闭，故它是的子空间。nV证明,,21nVT设,,21nV则有,,2211TT使从而2121TT,21nVTT;21nV因11kTk,1nVTkT,1nVk因nV4线性变换T的象集T（Vn）是一个线性空间，称为线性变换T的象空间。证明,,21TS若,0,021TT则2121TTT0;21TS,,1RkST若则0011kkTkT.1TSk,对线性运算封闭因此TS,nTVS又.的子空间是故nTVS.,0,05的核称为线性变换的子空间是的全体的使TSVTVSTTnnT定义设T是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换T下的象为nVnVn,,,21,,,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT三、线性变换在给定基下的矩阵其中.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA那末，A就称为线性变换T在基下的矩阵。n,,,21上式可表示为ATnn,,,,,,2121,,,,,,,2121nnTTTT记.,,TAATVn换唯一地确定一个线性变也可由一个矩阵唯一地确定一个矩阵可由线性变换中取定一个基后在.,阵是一一对应的线性变换与矩在给定一个基的条件下.)(,),(,1一确定唯由基的象矩阵显然nTTA例6...,0)(,,32132133213投影变换为因此也称这个线性变换平面上投影到其几何意义是将向量的一个线性变换这是定义对任意的一个变换是设XOYRaaaaaRaaaR,100,010,0013213的标准基若取R,000100)(,010010)(,001001)(321则有000010001,3AR在标准基下的矩阵为的投影变换因此有的另一组基而对于,001,011,1113213R,001)(,011)(,011)(321000011111,,321A下的矩阵为在基故例7..][,][)(),())((,][换这个变换也称为微分变换的一个线性变是则由导数性质可以证明定义变换中在线性空间xRxRxfxfdxdxfxRnnn则有的基取,,,,,1][12xxxxRnn212(1)0,()1,()2,,()(1)nnxxnxxx下的矩阵为在基因此xxxn12,,,,1,0000100002000010nA例8.,,987654321,,3132321下的矩阵在基求下的矩阵为基在的线性变换维线性空间已知AV解由条件知987654321),,(),,(321321321332123211963)(852)(74)(即174396285,,132B下的矩阵为在基因此74)(396)(285)(132113231322从而有定理1122nnyxyxAyx设线性变换T在基e1,e2,…,en下的矩阵是A，向量β在基e1,e2,…,en下的坐标是(x1,x2,…,xn)，则T(β)在基e1,e2,…,en下的坐标(y1,y2,…,yn)可以按下式计算其中表示都可用关系式中任何线性变换,)()(,RxAxxTTRnn))(,),(),((21eTeTeTAn,212222111211aaaaaaaaannnnnn.,,,21为单位坐标向量eeen定理线性变换的矩阵表示式四、线性变换在不同基下的矩阵上面的几个例子表明：同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？,,,,;,,,2121nn定理设线性空间中取定两个基nV由基到基的过渡矩阵为P，中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，那么n,,,21n,,,21nVAPPB1定理表明B与A相似，且两个基之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵。于是nnTB,,,,,,2121],,,[21PTnPTn,,,21证明Pnn,,,,,,2121,,,,,,,2121ATnnBTnn,,,,,,2121APn,,,21APPn121,,,因为线性无关，n,,,21所以.APPB1练习.,,,1222211211212下的矩阵在基求的矩阵为下在基中的线性变换设TaaaaATV,0110),(),(2112解,0110,01101PP求得即下的矩阵为在基于是),(12T0110011022211211aaaaB.11122122aaaa011012112221aaaa).(,ARTTA的秩就是则的矩阵是若.,rnSTrTT的维数为的核则的秩为若.,)(的秩称为线性变换的维数的象空间线性变换TVTTn定义思考题的两个线性变换已知22R22,,RXMXXSXNXT1111,0201NM.,,,,22211211下的矩阵在基试求EEEETSST正交变换的定义欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，如果它保持中V任何两个向量的内积不变，即对V中的任意向量α,β，恒有(Tα,Tβ)=(α,β)定理设T是欧氏空间V的线性变换，则T是正交变换的充分必要条件是下列条件之一成立：(1)T保持向量的长度不变，即对V中的任意向量β，都有|T(β)|=|β|；(2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基；(3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可逆的，且其逆变换也是正交变换。正交变换(Gives旋转变换、Householder镜像变换)；正交投影变换；对称变换等。