计量经济学数学基础

计量经济学第二章回顾：《计量经济学》的基本数学工具代数知识数理统计基础主要内容概率论基础计量经济学求和运算子（SummationOperator）是用以表示多个数求和运算的一个缩略符号。如果表示n个数的一个序列，那么我们就把这n个数的总和写为：第一节代数知识一、求和运算子与描述统计量1、求和运算子n21ixi，，，：n21n1iixxxx计量经济学性质SUM.1:对任意常数c，求和运算子性质nc1inc性质SUM.2:对任意常数c，niicx1niixc1性质SUM.3:若是n个数对构成的一个集合，且a和b是常数，则niyxii，，，：，21niiibyax1niniiiybxa11计量经济学2、平均数给定n个数，我们把它们加起来再除以n，便算出它们的平均数（average）或均值：n21ixi，，，：niixnx11当这些是某特定变量（如受教育年数）的一个数据样本时，我们常称之为样本均值，以强调它是从一个特定的数据集计算出来的。样本均值是描述统计量（DescriptiveStatistic）的一个例子；此时，这个统计量描述了点集的集中趋势。ixix计量经济学均值的性质假设我们取x的每次观测值并从中减去其均值：（这里“d”表示对均值的离差）。那么，这些离差之和必为零：xxdiininiiixxd11niniixx11xnxnii10xnxn计量经济学均值离差的重要性质离差平方和等于的平方和减去平方的n倍:请加以证明。另请证明：给定两个变量的数据集ixx21221xnxxxniiniiniyxii，，，：，21niiiiniiyxnyxyyxx11计量经济学集中趋势的另一种表达：中位数均值是我们所关注的集中趋势指标，但有时用中位数（Median）或样本中位数表示中心值也有价值。为了得到n个数的中位数，我们先把的值按从小到大的顺序排列。然后，若n是奇数，则样本中位数就是按顺序居中的那个数，例如，给定一组数字，中位数就是2。一般说来，中位数和均值相比，对数列中级（大或小）值的变化没那么敏感。若n是偶数，则居中数字便有两个，此时定义中位数的方法就不是唯一的。通常把中位数定义为两个居中数字的均值（仍指从小到大排序的数列）。nxxx，，，21ix1810210284，，，，，，计量经济学二、线性函数的性质如果两个变量x和y的关系是：xy10我们便说y是x的线性函数（LinearFunction）：而和是描述这一关系的两个参数，为截距（Intercept），为斜率（Slope）。0101一个线性函数的定义特征在于，y的改变量总是x的改变量的倍：其中，表示“改变量”。换句话说，x对y的边际效应（MarginalEffect）是一个等于的常数。xy111计量经济学例2.1.1线性住房支出函数假定每月住房支出和每月收入的关系式是Housing=164+0.27income那么，每增加1元收入，就有0.27元用于住房支出，如果家庭收入增加200元，那么住房支出就增加0.27×200=54元。机械解释上述方程，即时一个没有收入的家庭也有164元的住房支出，这当然是不真实的。对低收入水平家庭，这个线性函数不能很好的描述housing和income之间的关系，这就是为什么我们最终还得用其他函数形式来描述这种关系。计量经济学01000200002000400060008000incomehousing27.0sinincomeghou图2.1.1Housing=164+0.27income的图形例2.1.1线性住房支出函数计量经济学例2.1.1线性住房支出函数在上述方程中，把收入用于住房的边际消费倾向（MPC）是0.27。它不同于平均消费倾向（APC）：APC并非常数，它总比MPC大，但随着收入的增加越来越接近MPC。270164.incomeincomegsinhou计量经济学线性函数的性质多于两个变量的线性函数：假定y与两个变量和有一般形式的关系：由于这个函数的图形是三维的，所以相当难以想象，不过仍然是截距（即=0和=0时y的取值），且和都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，给定和的改变量，y的改变量是若不改变，即，则有因此是关系式在坐标上的斜率：1x2x22110xxy01x2x121x2x2211xxy2x02x0211xxy，11x0211xxy，计量经济学因为它度量了保持固定时，y如何随而变，所以常把叫做对y的偏效应（PartialEffect）。由于偏效应涉及保持其他因素不变，所以它与其他条件不变（CeterisParibus）的概念有密切联系，参数可作类似解释：即若，则因此，是对y的偏效应。线性函数的性质2x1x1x1201x22xy22x计量经济学假定大学生每月对CD的需求量与CD的价格和每个月的零花钱有如下关系：式中，price为每张碟的价格，income以元计算。需求曲线表示在保持收入（和其他因素）不变的情况下，quantity和price的关系。例2.1.2对CD的需求income.price.quantity03089120计量经济学050100150051015pricequantity89.pricequantity图2.1.2quantity=120-9.8price+0.03income在income固定为900元时的图形例2.1.2对CD的需求计量经济学图2.1.2描绘了在收入水平为900元时的二维图形。需求曲线的斜率-9.8是价格对数量的偏效应：保持收入固定不变，如果CD碟的价格增加1元，那么需求量就下跌9.8。（我们把CD碟只能离散购买的事实抽象化。）收入增加只是使需求曲线向上移动（改变了截距），但斜率仍然不变。例2.1.2对CD的需求计量经济学线性函数的基本性质：不管x的初始值是什么，x每变化一个单位都导致y同样的变化。x对y的边际效应是常数，这对许多经济关系来说多少有点不真实。例如，边际报酬递减这个重要的经济概念就不符合线性关系。为了建立各种经济现象的模型，我们需要研究一些非线性函数（nonlinearfunction）。非线性函数的特点是，给定x的变化，y的变化依赖于x的初始值。三、若干特殊函数及其性质计量经济学1.二次函数刻画报酬递减规律的一个简单方法，就是在线性关系中添加一个二次项。考虑方程式式中，，和为参数。当时，y和x之间的关系呈抛物线状，并且可以证明，函数的最大值出现在2210xxy01202212x计量经济学1.二次函数例如，若y=6+8x-2x2。（从而=8且=-2），则y的最大值出现在x*=8/4=2处，并且这个最大值是6+8×2-2×（2）2=14。12024681012141601234xy图2.1.3y=6+8x-2x2的图形计量经济学对方程式意味着x对y的边际效应递减（diminishingmarginaleffect），这从图中清晰可见，应用微积分知识，也可以通过求这个二次函数的一阶导数得出。斜率=方程右端是此二次函数对x的导数（derivative）。同样，则意味着x对y的边际效应递增（increasingmarginaleffect），二次函数的图形就呈U行，函数的最小值出现在点处。1.二次函数2210xxy02xxy21202212x计量经济学在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是自然对数（naturelogarithm），或简称为对数函数（logfunction），记为还有几种不同符号可以表示自然对数，最常用的是或。当对数使用几个不同的底数时，这些不同的符号是有作用的。目前，只有自然对数最重要，因此我们都用表示自然对数。2.自然对数xlogyxlnxlogexlog计量经济学2.自然对数xyxlogy图2.1.4y=log（x）的图形计量经济学2.自然对数从图能看出如下性质：1.当y=log（x）时，y和x的关系表现出边际报酬递减。2.当y=log（x）时，x对y永远没有负效应：函数的斜率随着x的增大越来越接近零，然而这个斜率永远到不了零，所以更不会是负的。3.log（x）可正可负：log（x）0，0x1；log（1）=0；log（x）0，x14.一些有用的性质（牢记）：log（x1·x2）=log（x1）+log（x2），x1，x20log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x20log（xc）=c·log（x），x0，c为任意实数计量经济学2.自然对数对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。1.对于x≈0，有log（1+x）≈x。这个近似计算随着x变大而越来越不精确。2.两对数之差可用作比例变化的近似值。令x0和x1为两个正数，可以证明（利用微积分），对x的微小变化，有如果我们用100乘以上述方程，并记那么，对x的微小变化，便有“微小”的含义取决于具体情况。000101xxxxxxlogxlog01xlogxlogxlogx%xlog100计量经济学2.自然对数近似计算的作用：定义y对x的弹性（elasticity）为换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。若y是x的线性函数：，则这个弹性是它明显取决于x的取值（弹性并非沿着需求曲线保持不变）。x%y%yxxyxy10xxyxyxxy1011计量经济学2.自然对数不仅在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都是非常重要的。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很方便，而对数函数能帮助我们设定这样的模型。如果我们对x和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于因此，一个常弹性模型（constantelasticitymodel）可近似描述为方程式中，为y对x的弹性（假定x，y0）。这类模型在经验经济学中扮演着重要角色。目前，式中的只是接近于弹性这一事实并不重要，可以忽略。xlogylogxlogylog1011计量经济学例2.1.3常弹性需求函数若q代表需求量而p代表价格，并且二者关系为则需求的价格弹性是-1.25.初略地说，价格每增加1%，将导致需求量下降1.25%。plog..qlog25174计量经济学2.自然对数在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可能性。假定y0，且则，从而。由此可知，当y和x有上述方程所示关系时，xylog10xylog1xylog1100100xy%1100计量经济学例2.1.4对数工资方程假设小时工资与受教育年数有如下关系：根据前面所述方程，有由此可知，多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。通常把%△y/△x称为y对x的半弹性（semi-elasticity），半弹性表示当x增加一个单位时y的百分数变化。在上述模型中，半弹性是个常数并且等于，在上述例子中，我们可以方便的把工资和教育的关系概括为：多受一年教育——无论所受教育的起点如何——都将使工资提高约9.4%。这说明了这类模型在经济学中的重要作用。edu..wagelog0940782edu.edu.wage%4909401001100计量经济学2.自然对数另一种关系式在应用经济学中也是有意义的：其中，x0。若取y的变化，则有，这又可以写为。利用近似计算，可得当x增加1%时，y变化个单位。xlogy10xlogy1xlogy